Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC ta có :

B C 2 = A B 2 + A C 2 = 3 2 + 4 2  = 25

Suy ra : BC = 5 (cm)

Theo tính chất hai tiếp tuyến giao nhau ta có:

AD = AE

BD = BF

CE = CF

Mà: AD = AB – BD

AE = AC – CF

Suy ra: AD + AE = AB – BD + (AC – CF)

= AB + AC – (BD + CF)

= AB + AC – (BF + CF)

= AB + AC – BC

Suy ra:

a, Kẻ OH vuông góc với BC 

Ta có tam giác BEO=BHO( ch-gn )

=> BE=BH 

Tương tự ta có : CH=CF 

Mà BH+HC=BC => BE+CF=BC=5 ( Bạn tính BC theo định lý Pytago tam giác ABC nk )

Mà AB+AC=BE+FC+AE+AF=7 ( AE=AF vì AEOF là hình vuông )

=> AE=(7-5):2=1

=> AB+AC-BC=3+4-5=2=2AE ( đpcm )

c, Ta có : OE=1, BE=2 : theo đl Pytago trong tam giác BEO tính đc \(BO=\sqrt{5}\)

OE=1, AE=1 :  theo đl Pytago trong tam giác OEA tính đc \(OA=\sqrt{2}\)

CF=3; OF=1 :  theo đl Pytago trong tam giác OFC tính đc \(OC=\sqrt{10}\)

a: Vì ΔABC vuông tại A

nên ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC

(O) tiếp xúc với AB,AC lần lượt tại D và E

=>OD⊥AB tại D và OE⊥AC tại E

Xét tứ giác ADOE có \(\hat{ADO}=\hat{AEO}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADOE là hình chữ nhật

b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=3^2+4^2=9+16=25=5^2\)

=>BC=5(cm)

=>p=(3+4+5)/2=12/2=6(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot3\cdot4=\frac12\cdot12=6\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

\(S=p\cdot r\)

=>r=6/6=1(cm)

1

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{3}{.4}AC\)

Theo pytago xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(\sqrt{AB^2+AC^2}=BC^2\\ \Rightarrow\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}AC\right)^2+AC^2}=10\\ \Rightarrow AC=8\\ \Rightarrow AB=\dfrac{3.8}{4}=6\)

Theo hệ thức lượng xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AB^2=BH.BC\\ \Leftrightarrow BH=\dfrac{AH^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\)

2

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{27}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{27}{4}AC\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(\dfrac{27}{4}AC\right)^2+AC^2}=\dfrac{\sqrt{745}AC}{4}\) ( Theo pytago trong tam giác ABC vuông tại A)

Theo hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AH.BC=AB.AC\\ \Leftrightarrow33,6.\dfrac{\sqrt{745}}{4}AC=\dfrac{27}{4}AC.AC\\ \Rightarrow AC=\dfrac{56\sqrt{745}}{45}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\dfrac{27}{4}.\dfrac{56\sqrt{745}}{45}=\dfrac{42\sqrt{745}}{5}\\BC=\dfrac{\sqrt{745}}{4}.\dfrac{56\sqrt{745}}{45}=\dfrac{2086}{9}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}AC\approx33,97\\AB\approx229,28\\BC\approx231,78\end{matrix}\right.\)

3

`BC=HB+HC=36+64=100`

Theo hệ thức lượng có (trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AH):

\(AH^2=HB.HC\\ \Rightarrow AH=\sqrt{36.64}=48\)

\(AB=\sqrt{HB.BC}=\sqrt{36.100}=60\\ AC=\sqrt{HC.BC}=\sqrt{64.100}=80\)

a: Xét (O) có

ΔAHB nội tiếp

AB là đường kính

=>ΔAHB vuông tại H

=>AH vuông góc BC

b: ΔHAC vuông tại H nên ΔAHC nội tiếp đường tròn đường kính AC

=>KA=KH=KC

Xét ΔKAO và ΔKHO có

KA=KH

AO=HO

KO chung

=>ΔKAO=ΔKHO

=>góc KHO=góc KAO=90 độ