a: ĐKXĐ: \(1-x^2\ge0\)

=>\(x^2\le1\)

=>-1<=x<=1

\(y=x\cdot\sqrt{1-x^2}\)

=>y'=\(x^{\prime}\cdot\sqrt{1-x^2}+x\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{\prime}\)

=>y'=\(\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\)

Đặt y'>0

=>\(1-2x^2>0\)

=>\(2x^2<1\)

=>\(x^2<\frac12\)

=>\(-\frac{\sqrt2}{2}

=>Hàm số đồng biến trên \(\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\)

Đặt y'<0

=>\(1-2x^2<0\)

=>\(2x^2>1\)

=>\(x^2>\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x>\frac{\sqrt2}{2}\\ x<-\frac{\sqrt2}{2}\end{array}\right.\)

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (\(\frac{\sqrt2}{2}\) ;+∞) và (-∞;\(-\frac{\sqrt2}{2}\) )

b: ĐKXĐ: \(3x^2-x^3\ge0\)

=>\(x^3-3x^2\le0\)

=>\(x^2\left(x-3\right)\le0\)

=>x=0 hoặc x-3<=0

=>x=0 hoặc x<=3

=>x∈(-∞;3]

\(y=\sqrt{3x^2-x^3}\)

=>y'=\(\frac{\left(3x^2-x^3\right)^{\prime}}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}=\frac{3\cdot2x-3x^2}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}=\frac{6x-3x^2}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}\)

Đặt y'>0

=>\(6x-3x^2>0\)

=>\(3x^2-6x<0\)

=>3x(x-2)<0

=>x(x-2)<0

=>0<x<2

=>Hàm số đồng biến trên (0;2)

Đặt y'<0

=>\(6x-3x^2<0\)

=>\(3x^2-6x>0\)

=>3x(x-2)>0

=>x(x-2)>0

=>x>2 hoặc x<0

=>Hàm số nghịch biến trên (2;+∞) và (-∞;0)

a) Vì \(3-2\sqrt{2}>0\) nên hàm số đồng biến

b) Thay \(x=3+2\sqrt{2}\) vào hàm số, ta được:

\(y=\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(3+2\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}-1\)

\(=9-8+\sqrt{2}-1\)

\(=\sqrt{2}\)

a) `a=3-2\sqrt2>0 =>` Hàm số đồng biến.

b) `y=(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)+\sqrt2-1=3^2-(2\sqrt2)^2+\sqrt2-1=\sqrt2`

`=> y=\sqrt2` khi `x=3+2\sqrt2`

Lời giải:

a) TXĐ: $x\in [-2;2]$

$y'=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=0\Leftrightarrow x=0$

Hàm số có điểm tới hạn $x=0$

Vẽ bảng biến thiên ta thu được hàm số đồng biến trên $(-2;0)$ và nghịch biến trên $(0;2)$

b) TXĐ: $x\in (-\infty;2]\cup [3;+\infty)$

$y'=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+6}}=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$ (loại vì không thuộc TXĐ)

Vẽ bảng biến thiên với các mốc $-\infty; 2;3;+\infty$ ta thấy hàm số đồng biến $(3;+\infty)$ và nghịch biến trên $(-\infty;2)$

a: Vì a=3>0 nên hàm số đồng biến trên R

b: \(y=0x+\left(1-\sqrt{2}\right)\)

Vì a=0 nên hàm số không đồng biến cũng không nghịch biến

c: Lấy \(x_1;x_2\in R;x_1< x_2\)

\(\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\dfrac{3x_1^3-3-3x_2^3+3}{x_1-x_2}=3\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)>0\)

=>Hàm số đồng biến trên R

a: \(y=\frac{2+3x}{\sqrt5}\)

=>\(y=\frac{3}{\sqrt5}x+\frac{2}{\sqrt5}\)

Vì \(a=\frac{3}{\sqrt5}>0\)

nên hàm số đồng biến trên R

b: \(y=\frac{3x+1}{2}-\frac{x-1}{3}\)

\(=\frac{3\left(3x+1\right)-2\left(x-1\right)}{6}\)

\(=\frac{9x+3-2x+2}{6}=\frac{7x+5}{6}=\frac76x+\frac56\)

Vì a=7/6>0

nên hàm số đồng biến trên R