Ta có :

\(2x^2+y^2-6x+2xy-2y+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)-2\left(x+y\right)+1+\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2=0\\\left(x-2\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=-1\\x=2\end{cases}}\)

           \(x^2-2xy+2y^2-2x+6y+5=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2x\left(y+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-y-1=0\\y+2=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}}\)

\(\frac{ }{ }\)

Ta có:

\(x^2-2xy+2y^2-2x+6y+5=\left(x^2-xy+y^2\right)+y^2-2\left(x-y\right)+4y+5\)

\(=\left[\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)+1\right]+\left(y^2+4y+4\right)\)

\(=\left(x-y-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=1\\y=-2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1=-1\\y=-2\end{cases}}}\)

Ta viết phương trình về dạng: \(2x^2-\left(2y-1\right)x+\left(2y^2+y-10\right)=0\)

Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn x thì \(\Delta_x=\left(2y-1\right)^2-8\left(2y^2+y-10\right)=-12y^2-12y+81\)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là \(\Delta_x\ge0\)hay \(-12y^2-12y+81\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{-1-2\sqrt{7}}{2}\le y\le\frac{-1+2\sqrt{7}}{2}\)mà y nguyên nên \(-3\le y\le2\)

Lập bảng:

Vậy phương trình có 4 cặp nghiệm nguyên \(\left(x,y\right)=\left\{\left(2,0\right);\left(0,2\right);\left(-1,-3\right);\left(-3;-1\right)\right\}\)

a: Ta có: \(2x^2+y^2-2xy-10x+6y+13=0\)

=>\(y^2-2xy+x^2+6y-6x+x^2-4x+13=0\)

=>\(\left(y-x\right)^2+6\left(y-x\right)+9+x^2-4x+4=0\)

=>\(\left(y-x+3\right)^2+\left(x-2\right)^2=0\)

=>x-2=0 và y-x+3=0

=>x=2 và y=x-3=2-3=-1

b: \(x^2+7y^2-4xy-2x-2y+4=0\)

=>\(x^2-4xy+4y^2-2x+4y+3y^2-6y+4=0\)

=>\(\left(x-2y\right)^2-2\left(x-2y\right)+1+3y^2-6y+3=0\)

=>\(\left(x-2y-1\right)^2+3\left(y-1\right)^2=0\)

=>x-2y-1=0 và y-1=0

=>y=1 và x=2y+1=2*1+1=3

c: \(11x^2+y^2-6xy-14x+2y+9=0\)

=>\(y^2-6xy+9y^2+2y-6x+2x^2-8x+9=0\)

=>\(\left(y-3x\right)^2+2\left(y-3x\right)+1+2x^2-8x+8=0\)

=>\(\left(y-3x+1\right)^2+2\left(x-2\right)^2=0\)

=>x-2=0 và y-3x+1=0

=>x=2 và y=3x-1=3*2-1=5