Đáp án B

Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng  A ' B ' C ' D ' theo phương chiếu B A ' .

Ta có N là ảnh của M hay  N = B ' D ' ∩ A C '

Do đó ta xác định M, N như sau:

Trên A'B' kéo dài lấy điểm K sao cho A ' K = A ' B  thì   A B A ' K là hình bình hành nên  A K // A ' B .

Gọi  N = B ' D ' ∩ K C ' . Đường thẳng qua N và song song với AK cắt AC' tại M

Ta có M, N là các điểm cần xác định.

Theo định lý Thales:  M A M C ' = N K N C ' = K B ' C ' D ' = 2

Đặt :  \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{b,}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}\)

Ta có : \(\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

Do MM//BD' nên tồn tại số thực k sao cho \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{BD'}\)

hay :

 \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{c}\) (1)

Đặt 

\(\frac{MC}{AC}=x,\frac{C'N}{C'D}=y;x,y\in\left(0;1\right)\)

Ta có :

\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a,}\overrightarrow{C'D}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b,}\)

Suy ra : \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'N}\)

                    \(=\overrightarrow{xAC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{yC'N}\)

                    \(=x\left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\right)+\overrightarrow{b}+y\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\)

                    \(=\left(y-x\right)\overrightarrow{a}+\left(1-y\right)\overrightarrow{b}+x\overrightarrow{c}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

\(k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{c}=\left(y-x\right)\overrightarrow{a}+\left(1-y\right)\overrightarrow{b}+x\overrightarrow{c}\)

\(\Leftrightarrow\left(k+x-y\right)\overrightarrow{a}+\left(k+y-1\right)\overrightarrow{b}+\left(k-x\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\) (3)

Do \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) không đồng phửng nên (3) tương đương với

\(\begin{cases}k+x-y=0\\k+y-1=0\\k-x=0\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{3}=k\\y=\frac{2}{3}\end{cases}\)

Vậy với \(3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC,}3\overrightarrow{C'N}=2\overrightarrow{C'D}\) 

thì MN//BD' và khi đó \(\frac{MN}{BD'}=\frac{1}{3}\)

Đáp án là C

Nhận xét: B'NDM là hình bình hành (B'N = DM, B'N//DM) 

=> MN ∩ B'D = O là trung điểm của mỗi đoạn nên O cũng là trung điểm của đường chéo A'C.

Vậy thiết diện tạo bởi mặt (A'MN) và hình chóp là hình bình hành A'NCM.

Ta có: 

Cách 1:

Thể tích phần chứa C' là

Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh

Gọi thể tích phần chứa C' là V'.

Ta có:

Cách 3: Nhận xét nhanh do đa diện chứa C' đối xứng với đa diện không chứa C' qua O nên thể tích của hai phần này bằng nhau, suy ra 

Đáp án là C

Đáp án là C

Ta có 

Khi đó thể tích khối hộp

Ta có  giao tuyến của (A'MN) và (C'D'DC) là C'M

Ta có  giao tuyến của (A'MN) và (B'C'CB) là CN 

Suy ra AMC'N là hình bình hành

Gọi O là tâm hình hộp.  Ta có phép đối xứng tâm O biến hình đa diện C'CDMBAN thành hình đa diện AA'B'ND'C'M

Đáp án là C

a) Trong (ABCD) kẻ \(CE \bot BD\)

Mà \(CE \bot BB'\left( {BB' \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow CE \bot \left( {BB'D'D} \right)\)

Ta có CC’ // BB’ \( \Rightarrow \) CC’ // (BB’D’D) \( \Rightarrow \) d(CC’, (BB’D’D)) = d(C, (BB’D’D)) = CE

Xét tam giác BCD vuông tại C có

\(\frac{1}{{C{E^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{C{D^2}}} = \frac{1}{{{c^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{c^2}{b^2}}} \Rightarrow CE = \frac{{bc}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\)

b) \(AC \subset \left( {ABCD} \right),B'D' \subset \left( {A'B'C'D'} \right),\left( {ABCD} \right)//\left( {A'B'C'D'} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {AC,B'D'} \right) = d\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = BB' = a\)