Bài 2:

a: Để \(x^2+3x\) là số chính phương thì \(x^2+3x=k^2\left(k\in N\right)\)

=>\(4x^2+12x=4k^2\)

=>\(4x^2+12x+9=4k^2+9\)

=>\(\left(2x+3\right)^2-\left(2k\right)^2=9\)

=>(2k+3-2k)(2k+3+2k)=9

=>(2x+3-2k;2x+3+2k)∈{(1;9);(9;1);(-1;-9);(-9;-1);(3;3);(-3;-3)}

TH1: 2x+3-2k=1 và 2x+3+2k=9

=>2x+3-2k+2x+3+2k=1+9

=>4x+6=10

=>4x=4

=>x=1(nhận)

TH2: 2x+3-2k=9 và 2x+3+2k=1

=>2x+3-2k+2x+3+2k=1+9

=>4x+6=10

=>4x=4

=>x=1(nhận)

TH3: 2x+3-2k=-1 và 2x+3+2k=-9

=>2x+3-2k+2x+3+2k=-1-9

=>4x+6=-10

=>4x=-16

=>x=-4(nhận)

TH4: 2x+3-2k=-9 và 2x+3+2k=-1

=>2x+3-2k+2x+3+2k=-1-9

=>4x+6=-10

=>4x=-16

=>x=-4(nhận)

TH5: 2x+3-2k=3 và 2x+3+2k=3

=>2x+3-2k+2x+3+2k=3+3

=>4x+6=6

=>4x=0

=>x=0(nhận)

TH6: 2x+3-2k=-3 và 2x+3+2k=-3

=>2x+3-2k+2x+3+2k=-3-3

=>4x+6=-6

=>4x=-12

=>x=-3(nhận)

b: Đặt \(x^2+x+6=k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(4x^2+4x+24=4k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(4x^2+4x+1+23-4k^2=0\)

=>\(\left(2x+1\right)^2-\left(2k\right)^2=-23\)

=>(2x+1-2k)(2x+1+2k)=-23

=>(2x+1-2k;2x+1+2k)∈{(1;-23);(-23;1);(-1;23);(23;-1)}

TH1: 2x+1-2k=1 và 2x+1+2k=-23

=>2x+1-2k+2x+1+2k=1-23

=>4x+2=-22

=>4x=-24

=>x=-6(nhận)

TH2: 2x+1-2k=-23 và 2x+1+2k=1

=>2x+1-2k+2x+1+2k=1-23

=>4x+2=-22

=>4x=-24

=>x=-6(nhận)

TH3: 2x+1-2k=-1 và 2x+1+2k=23

=>2x+1-2k+2x+1+2k=-1+23

=>4x+2=22

=>4x=20

=>x=5(nhận)

TH4: 2x+1-2k=23 và 2x+1+2k=-1

=>2x+1-2k+2x+1+2k=-1+23

=>4x+2=22

=>4x=20

=>x=5(nhận)

2.

a.

\(x^2+3x=k^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2+12x=4k^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2+12x+9=4k^2+9\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2=\left(2k\right)^2+9\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2-\left(2k\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3-2k\right)\left(2x+3+2k\right)=9\)

Vậy \(x=\left\{-4;-3;0;1\right\}\)

b. Tương tự

\(x^2+x+6=k^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2k\right)^2-\left(2x+1\right)^2=23\)

\(\Leftrightarrow\left(2k-2x-1\right)\left(2k+2x+1\right)=23\)

Em tự lập bảng tương tự câu trên

1.

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2=-4y^2+y+1\)

\(\Leftrightarrow-4y^2+y+1=\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow-64y^2+16y+16\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(8y-1\right)^2\le17\)

\(\Rightarrow\left(8y-1\right)^2\le16\)

\(\Rightarrow-4\le8y-1\le4\)

\(\Rightarrow-\dfrac{3}{8}\le y\le\dfrac{5}{8}\)

\(\Rightarrow y=0\)

Thế vào pt ban đầu:

\(\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-1;0\right);\left(1;0\right)\)

Ta có: x-2xy+y-3=0

=>-2xy+x+y=3

=>-2.(-2xy+x+y)=-2.3

=>4xy-2x-2y=-6

=>4xy-2x-2y+1=-6+1

=>2x(2y-1)-(2y-1)=-5

=>(2y-1)(2x-1)=-5=1.(-5)=-5.1=(-1).5=5.(-1)

Ta có bảng sau:

Vậy (x;y) E {(1;-2);(-2;1);(3;0);(0;3)}

2xy+2y-x=13

<=>2y(x+1)-x-1=12

<=>2y(x+1)-(x+1)=12

<=>(x+1)(2y-1)=12

=> x+1 , 2y-1 thuộc Ư(12)

Mà 2y-1 là số lẻ => 2y-1 thuộc {1;-1;3;-3}

=>x+1 thuộc {12;-12;4;-4}

Lập bảng ta có;

Vậy...

<=> \(x=\frac{3-y}{1+2y}\)

Để x, y\(\in\)Z\(1+2y\in\text{Ư}_5\)hì \(\frac{3-y}{1+2y}\in Z\)

<=>\(3-y⋮1+2y\)

<=>\(-1-2y-5⋮1+2y\)

<=>\(1+2y\in\text{Ư}\)5

<=>\(1+2y\in\text{{}\text{ }1;-1;5;-5\)

<=>\(2y\in\text{{}0;-2;4;-6\)<=>\(y\in\text{{}0;-1;2;-3\)=>x=...

sao x lại bằng 3-x/1+2y vậy bạn

Ta có: x-y+2xy=3 <=> 2x - 2y + 4xy = 6 <=> 2x.(1+2y)-2y=6 <=> 2x.(2y+1) - (2y+1) + 1 =6

                           <=> (2y+1).(2x-1)=5

Mà x,y thuộc Z nên 2y+1 và 2x-1 là Ư(5)

*2y+1=5,2x-1=1 => x=1, y=2

*2y+1=1; 2x-1 = 5 => x=3; y=0

*2y+1=-5; 2x-1=-1 => x=0; y=-3

*2y+1=-1; 2x-1=-5 => x=-2; y=-1

Vậy (x,y) thuộc {(1;2);(3;0); (0; -3); (-2; -1)}