cho (O;R) và M ở ngoài (O) kẻ tiếp tuyến MA, MB, gọi đoạn OM cắt AB tại H và cắt (O) tại I, kẻ đường kính AD, MD cắt (O) tại C.
a) Chứng minh : O, A, M, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: MA^2 = MH.MO và góc MDC = góc MDO
c) Chứng minh: IH.IO = OH.IM và đường tròn ngoại tiếp tam giác CHD luôn đi qua một điểm cố định khi M di...
Đọc tiếp
cho (O;R) và M ở ngoài (O) kẻ tiếp tuyến MA, MB, gọi đoạn OM cắt AB tại H và cắt (O) tại I, kẻ đường kính AD, MD cắt (O) tại C.
a) Chứng minh : O, A, M, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: MA^2 = MH.MO và góc MDC = góc MDO
c) Chứng minh: IH.IO = OH.IM và đường tròn ngoại tiếp tam giác CHD luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển
a: Xét tứ giác OAMB có \(\hat{OAM}+\hat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)
nên OAMB là tứ giác nội tiếp
=>O,A,M,B cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO⊥AB tại H và H là trung điểm của AB
Sửa đề: Chứng minh \(\hat{MDO}=\hat{MHC}\)
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>AC⊥DM tại C
Xét ΔMAD vuông tại A có AC là đường cao
nên \(MC\cdot MD=MA^2\) (3)
Xét ΔMAO vuông tại A có HA là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(MC\cdot MD=MH\cdot MO\)
=>\(\frac{MC}{MO}=\frac{MH}{MD}\)
Xét ΔMCH và ΔMOD có
\(\frac{MC}{MO}=\frac{MH}{MD}\)
góc CMH chung
Do đó: ΔMCH~ΔMOD
=>\(\hat{MHC}=\hat{MDO}\)
c: Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOAM vuông tại A có
\(\hat{HOA}\) chung
Do đó: ΔOHA~ΔOAM
=>\(\frac{OH}{OA}=\frac{HA}{AM}\)
=>\(\frac{OH}{IO}=\frac{AH}{AM}\) (5)
Ta có: \(\hat{MAI}+\hat{OAI}=\hat{OAM}=90^0\)
\(\hat{HAI}+\hat{OIA}=90^0\) (ΔHIA vuông tại H)
mà \(\hat{OAI}=\hat{OIA}\) (ΔOAI cân tại O)
nên \(\hat{MAI}=\hat{HAI}\)
=>AI là phân giác của góc HAM
Xét ΔHAM có AI là phân giác
nên \(\frac{HI}{IM}=\frac{AH}{AM}\left(6\right)\)
Từ (5),(6) suy ra \(\frac{IH}{IM}=\frac{OH}{IO}\)
=>\(IH\cdot IO=IM\cdot OH\)