a: Ta có: AD+DB=AB

BE+EC=BC

CF+FA=CA

mà AB=BC=CA và AD=BE=CF

nên DB=EC=FA

ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ACB}=\hat{ABC}=\hat{BAC}=60^0\)

Xét ΔDBE và ΔECF có

DB=EC

\(\hat{DBE}=\hat{ECF}\)

BE=CF

Do đó: ΔDBE=ΔECF

=>DE=EF

Xét ΔDAF và ΔEBD có

DA=EB

\(\hat{DAF}=\hat{EBD}\)

AF=BD

Do đó: ΔDAF=ΔEBD

=>DF=ED

=>DF=ED=EF

=>ΔDEF đều

b: Ta có: \(\hat{ABN}+\hat{ABC}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{ACB}+\hat{BCK}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{BAC}+\hat{MAC}=180^0\) (hai góc kề bù)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\hat{BAC}\)

nên \(\hat{MAC}=\hat{ABN}=\hat{BCK}\)

MA+AB=MB

NB+BC=NC

KC+CA=KA

mà MA=NB=KC và AB=BC=CA

nên MB=NC=KA

Xét ΔMBN và ΔNCK có

MB=NC

\(\hat{MBN}=\hat{KCN}\)

BN=CK

Do đó: ΔMBN=ΔNCK

=>MN=NK

Xét ΔMAK và ΔNBM có

MA=NB

\(\hat{MAK}=\hat{NBM}\)

AK=BM

Do đó: ΔMAK=ΔNBM

=>MK=NM

=>MN=MK=NK

=>ΔMNK đều

Xét ΔABCΔABC là tam giác đều (gt)

=> {ABCˆ=ACBˆ=BACˆAB=AC=BC{ABC^=ACB^=BAC^AB=AC=BC (tính chất tam giác đều)

Có : ⎧⎩⎨⎪⎪D∈ABE∈BCF∈AC{D∈ABE∈BCF∈AC (gt)

=> ⎧⎩⎨⎪⎪AB=AD+BDAC=CF+CFBC=BE+CE{AB=AD+BDAC=CF+CFBC=BE+CE

Mà : {AD=BE=CFAB=AC=BC{AD=BE=CFAB=AC=BC (cmt)

=> BD=AF=CEBD=AF=CE

Xét ΔADF;ΔBEDΔADF;ΔBED có :

AF=BD(cmt)AF=BD(cmt)

DAFˆ=EBDˆDAF^=EBD^ (gt)

AD=BE(cmt)AD=BE(cmt)

=> ΔADF=ΔBED(c.g.c)ΔADF=ΔBED(c.g.c)

=> DF=DEDF=DE (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét ΔADF;ΔCEFΔADF;ΔCEF có :

AF=EC(cmt)AF=EC(cmt)

DAFˆ=FCEˆDAF^=FCE^ (tam giác ABC đều - gt)

DA=FC(cmt)DA=FC(cmt)

=> ΔADF=ΔCEF(c.g.c)ΔADF=ΔCEF(c.g.c)

=> DF=EFDF=EF ( 2 cạnh tương ứng) (2)

- Từ (1) và (2) => DF=DE=EFDF=DE=EF

Xét ΔDEFΔDEF có :

DF=DE=EFDF=DE=EF (cmt)

=> ΔDEFΔDEF là tam giác đều (đpcm)

a: Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: AH vuông góc với BC tại D

b:

Xét tứ giác CDFA có góc CDA=góc CFA=90 độ

nên CDFA là tứ giác nội tiếp

=>góc BFD=góc BCA

Xét tứ giác BFEC có góc BFC=góc BEC=90 độ

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>góc AFE=góc ACB

Ta có: góc COE=180 độ-2 góc C

góc EFD=180 độ-góc AFE-góc BFD

=180 độ-2 góc C

=>góc COE=góc EFD

=>DOEF là tứ giác nội tiếp

Ta có: AB = AD +DB (1)

BC = BE + EC (2)

AC = AF + FC (3)

AB = AC = BC ( vì tam giác ABC là tam giác đều) (4)

AD = BE = CF ( giả thiết) (5)

Từ (1), (2), (3) và (4),(5) suy ra: BD = EC = AF

Xét ΔADF và ΔBED, ta có:

AD = BE (gt)

∠A =∠B =60o (vì tam giác ABC đều)

AF = BD (chứng minh trên)

suy ra: ΔADF= ΔBED (c.g.c)

⇒ DF=ED (hai cạnh tương ứng) (6)

Xét ΔADF và ΔCFE, ta có:

AD = CF (gt)

∠A =∠C =60o (vì tam giác ABC đều)

AF = CE (chứng minh trên)

suy ra: ΔADF= ΔCFE (c.g.c)

Nên: DF = FE (hai cạnh tương ứng) (7)

Từ (6) và (7) suy ra: DF = ED = FE

Vậy tam giác DFE đều