Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) OI.OH = R2.
c)...
Đọc tiếp
Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) OI.OH = R2.
c) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Vẽ hình giúp em luôn ạ.
a: ΔOBC cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI⊥BC tại I
Ta có: \(\hat{OIA}=\hat{OMA}=\hat{ONA}=90^0\)
=>O,I,M,A,N cùng thuộc đường tròn đường kính OA
=>O,I,M,N cùng thuộc một đường tròn
b: Gọi K là giao điểm của MN và OA
Xét (O) có
AM,AN là các tiếp tuyến
Do đó: AM=AN
=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)
Ta có: OM=ON
=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của MN
=>OA⊥MN tại K và K là trung điểm của MN
Xét ΔOKH vuông tại K và ΔOIA vuông tại I có
\(\hat{KOH}\) chung
Do đó: ΔOKH~ΔOIA
=>\(\frac{OK}{OI}=\frac{OH}{OA}\)
=>\(OI\cdot OH=OK\cdot OA\left(3\right)\)
Xét ΔOMA vuông tại M có MK là đường cao
nên \(OK\cdot OA=OM^2=R^2\) (4)
Từ (3),(4) suy ra \(OI\cdot OH=R^2\)