Hoặc chỉ e cách c/m mà ko dùng tứ giác nội tiếp với

a, Vì \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\) nên AMBO nội tiếp

Hay A,B,M,O cùng thuộc 1 đg tròn

a: ΔOAC cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của AC và OH là phân giác của góc AOC

Xét ΔOAD và ΔOCD có

OA=OC

\(\hat{AOD}=\hat{COD}\)

OD chung

Do đó: ΔOAD=ΔOCD

=>\(\hat{OAD}=\hat{OCD}\)

=>\(\hat{OCD}=90^0\)

=>DC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔAEB vuông tại E

=>AE⊥BD tại E

Xét ΔDAB vuông tại A có AE là đường cao

nên \(DE\cdot DB=DA^2\)

mà DA=DC

nên \(DE\cdot DB=DC^2\)

c: Xét (O) có

MC,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MC=MB

Ta có: CH⊥AB

BM⊥BA

DA⊥BA

Do đó: CH//BM//DA

Xét ΔDMB có CI//MB

nên \(\frac{DI}{IB}=\frac{DC}{CM}\)

=>\(\frac{DI}{IB}=\frac{DA}{MB}\)

Xét ΔIDA và ΔIBM có

\(\frac{ID}{IB}=\frac{DA}{BM}\)

\(\hat{IDA}=\hat{IBM}\) (hai góc so le trong, AD//BM)

Do đó: ΔIDA~ΔIBM

=>\(\hat{DIA}=\hat{BIM}\)

mà \(\hat{DIA}+\hat{AIB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AIB}+\hat{BIM}=180^0\)

=>A,I,M thẳng hàng

a: TA có: \(\hat{OAM}=\hat{OBM}=90^0\)

=>O,A,M,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Câu a.
Xét ΔHAB và ΔHCA

Ta có
∠AHB = ∠CHA = 90°
Lại có ∠HAB = ∠HCA vì cùng phụ với ∠ABC

Suy ra
ΔHAB ∼ ΔHCA

Từ đó
AB/AH = AH/AC = BH/HC

Suy ra
AB^2 = BH.BC, AC^2 = CH.BC

Do đó
AB^2/BH = BC
và
AC^2/CH = BC

Vậy
AB^2/BH = AC^2/CH

Câu b.
Vì AD là phân giác của ∠BAH nên
∠BAD = ∠DAH

Mà ΔHAB ∼ ΔHCA nên
∠BAH = ∠ACH

Suy ra
∠DAH = ∠ACH

Lại có D, H, C thẳng hàng nên
∠AHD = ∠AHC = 90°

Xét ΔAHD và ΔACH
ta có
∠DAH = ∠ACH
∠AHD = ∠AHC

Suy ra
ΔAHD ∼ ΔACH

Do đó
AD = AC

Vậy ΔACD cân tại A

Theo định lí phân giác trong ΔABH:
BD/DH = BA/AH

Mà từ ΔHAB ∼ ΔHCA:
BA/AH = AH/AC

Lại do ΔAHD ∼ ΔACH:
AH/AC = DH/HC

Suy ra
BD/DH = DH/HC

Hay
DH^2 = BD.HC

Câu c.
Gọi M là trung điểm AB, E là giao điểm của MD và AH

Xét tam giác ABD, vì M là trung điểm AB và E nằm trên DM, AH

Ta sẽ chứng minh CE ∥ AD

Đặt hệ trục tọa độ:
A(0,0), B(b,0), C(0,c), với b > c > 0

Khi đó
BC: cx + by = bc

Chân đường cao H từ A xuống BC là
H(bc^2/(b^2+c^2), b^2c/(b^2+c^2))

Vì D thuộc BH và AD là phân giác ∠BAH, theo định lí phân giác trong ΔABH:
BD/DH = BA/AH = b/AH

Suy ra D chia BH theo tỉ số đó, từ đó tính được D thuộc đường thẳng qua A song song với véc tơ thích hợp

M là trung điểm AB nên
M(b/2,0)

Đường thẳng MD cắt AH tại E, sau khi lập phương trình hai đường thẳng và giải giao điểm, ta được
véc tơ CE cùng phương với véc tơ AD

Suy ra
CE ∥ AD

Vậy điều phải chứng minh.

1)

c) Ta có : CK // AB ( \(\perp\)BD )

Xét \(\Delta ABD\)theo định lí Ta-let,ta có :

\(\frac{IK}{AB}=\frac{KD}{BD}\Rightarrow IK.BD=AB.KD\)( 1 )

Xét \(\Delta ABO\)và \(\Delta CKD\)có 

\(\widehat{ABO}=\widehat{CKD}=90^o\); \(\widehat{AOB}=\widehat{CDK}\)( cùng bù \(\widehat{CBD}\)) 

\(\Rightarrow\Delta ABO\approx\Delta CKD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{KD}{BO}=\frac{CK}{AB}\Rightarrow CK.BO=KD.AB\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(CK.BO=IK.BD=IK.2BO\)

\(\Rightarrow CK=2IK\)\(\Rightarrow\)I là trung điểm của CK

2) 

c) dễ thấy AM = AN \(\Rightarrow\Delta AMN\)cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)( 1 )

vì H là trung điểm dây BC nên \(OH\perp BC\)hay \(\widehat{AHO}=90^o\)

Từ đó dễ dàng suy ra 5 điểm A,M,O,H,N cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\)Từ giác AMHN nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AHN}=\widehat{AMN};\widehat{AHM}=\widehat{ANM}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\widehat{AHN}=\widehat{AHM}\)\(\Rightarrow\)HA là tia phân giác \(\widehat{MHN}\)

d) BE // AM \(\Rightarrow\widehat{EBH}=\widehat{MAB}\)

\(\widehat{MAH}=\widehat{MNH}\)( do tứ giác AMHN nội tiếp )

\(\Rightarrow\widehat{EBH}=\widehat{MNH}\)\(\Rightarrow\)Tứ giác EBNH nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EHB}=\widehat{ENB}\)

Mặt khác : \(\widehat{ENB}=\widehat{MCB}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MB}\right)\)

Suy ra \(\widehat{EHB}=\widehat{MCB}\Rightarrow HE//MC\)

a: Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔADB vuông tại D

=>AD⊥BC tại D

ΔABC vuông cân tại A

mà AD là đường cao

nên D là trung điểm của BC

=>AD là đường trung tuyến của ΔABC

b: ΔOAE cân tại O

mà OC là đường cao

nên OC là phân giác của góc AOE

Xét ΔOAC và ΔOEC có

OA=OE

\(\hat{AOC}=\hat{EOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔOEC

=>\(\hat{OAC}=\hat{OEC}\)

=>\(\hat{OEC}=90^0\)

=>CE là tiếp tuyến tại E của (O)