Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:

\(\left(9x^3+3y^2+z\right)\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\frac{x\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)(1)

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{y}{9y^3+3z^2+x}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{y}{3}+xy}{\left(x+y+z\right)^2}\)(2); \(\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{z}{3}+yz}{\left(x+y+z\right)^2}\)(3)

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:

\(\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\)\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)

\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(*)

Mặt khác, có: \(2017\left(xy+yz+zx\right)\le2017.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{2017}{3}\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(A=\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}+2017\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\le1+\frac{2017}{3}=\frac{2020}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Đặt $a=2x,\quad b=3y,\quad c=4z.$

Khi đó $a^2+b^2+c^2=1.$

Ta có $A=\dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}.$

Xét hàm số $f(t)=\dfrac{t}{1-t^2}\quad(0<t<1).$

Ta có $f''(t)=\dfrac{2t(3+t^2)}{(1-t^2)^3}>0.$

Do đó $f(t)$ là hàm lồi trên $(0;1)$.

Theo bất đẳng thức Jensen:

$A\ge3f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right).$

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy:

$(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)=3$

$\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{3}\le\dfrac1{\sqrt3}.$

Vì $f(t)$ đồng biến trên $(0;1)$ nên

$A\ge3f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)$

$\ge3f\left(\dfrac1{\sqrt3}\right)$

$=3\cdot\dfrac{\frac1{\sqrt3}}{1-\frac13}$

$=3\cdot\dfrac{\frac1{\sqrt3}}{\frac23}$

$=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$

$a=b=c=\dfrac1{\sqrt3}.$

Dấu '=' xảy ra khi:

\Leftrightarrow x=\dfrac1{2\sqrt3},\quady=\dfrac1{3\sqrt3},\quadz=\dfrac1{4\sqrt3}.

$A_{\min}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$

\(\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=2-2\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}\right)\le2-2.\frac{4}{x+2+y+2}=2-\frac{8}{4-z}\)

Cần CM: \(2-\frac{8}{4-z}+\frac{z}{z+8}\le\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{8\left(z-2\right)^2}{3\left(4-z\right)\left(z+8\right)}\ge0\)

bđt trên đúng do \(4-z=\left(x+2\right)+\left(y+2\right)>0\)

Dòng kế cuối sửa lại thành \(\frac{8\left(z+2\right)^2}{3\left(4-z\right)\left(z+8\right)}\ge0\) nhé.

sửa đề: z+4>0

Đặt a = x + 1 > 0 ; b = y + 1 > 0 ; c = z + 4 > 0

a + b + c = 6

\(A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\)

Theo Bất Đẳng Thức ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{4}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c}\ge\frac{16}{a+b+c}=\frac{8}{3}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{3}\)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=c\\a+b+c=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=\frac{3}{2}\\c=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{2}\\z=-1\end{cases}}}\)

Vậy MaxA = 1/3 khi \(\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{2}\\z=-1\end{cases}}\)

a/ \(2a^2+a=3b^2+b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2\right)+\left(a+b\right)=b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)

Giả sử d là UCLN (a - b, 2a + 2b + 1) thì ta có

b² chia hết cho d² => b chia hết cho d

Mà 2a + 2b + 1 - 2(a - b) = 4b + 1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d hay d = 1

=> (a - b) và (2a + 2b +1) nguyên tố cùng nhau

Vậy 2a + 2b + 1 là số chính phương

2 SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU KHÔNG CÓ NGHĨA LÀ 1 TRONG 2 SỐ ĐÓ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG : VIDU 5 VÀ 6 LÀ 2 SỐ NG TỐ CÙNG NHAU VÌ CÓ UCLN=1 NHƯNG KO CÓ SỐ NÀO LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CẢ...HIHIHI

Giải:

Ta có: x, y, z >0

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(\left(x+y\right)\ge2\sqrt{xy}\) và \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)

=> \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{\frac{1}{xy}}=4\)

<=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}\le4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)               (*)

Áp dụng (*) ta có: 

\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\)        (1)

\(\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)        (2)

\(\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+z+y+z}=\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)        (3)

Cộng 2 vế của (1), (2), (3) ta có

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\) (đpcm)
 

cảm ơn bạn nhiều