Để X dương thì (n-1) và (2017-n) cùng dấu (X khác 0 => n khác 1 và để X tồn tại thì n khác 2017)

+ TS và MS cùng âm

TS âm => n < 1

MS âm => n > 2017 (vô lí)

+ TS và MS cùng dương 

TS dương => n > 1

MS dương => n < 2017

=> 1 < n < 2017

Mà n nguyên => n LN là 2016 và n NN là 2

\(3^{1024}-1\)

\(=\left(3^{512}-1\right)\left(3^{512}+1\right)\)

\(=\left(3^{256}-1\right)\left(3^{256}+1\right)\left(3^{512}+1\right)\)

...

\(=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)(3^{64}+1)(3^{128}+1)(3^{256}+1)(3^{512}+1)\)

3-1=2=2^1

=>Thừa số này đóng góp 1 thừa số 2

3+1=4=2^2

=>Thừa số này đóng góp 2 thừa số 2

Xét các thừa số có dạng \(3^{2^k} + 1\) , với k∈{1;2;3...;9}, ta sẽ có:

∀k>=1 thì \(3^{2^k} = (3^{2^{k-1}})^2\)

Ta có: \(3^{2^{k-1}}\equiv1\pmod4\)

=>\(3^{2^{k}}\equiv1^2\equiv1\pmod4\)

=>\(3^{2^{k}}+1\equiv1+1=2\pmod4\)

=>\(3^{2^{k}}+1\) chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4

=>mỗi thừa số này chứa đúng một thừa số 2 cho tích tổng

và từ k=1 đến k=9 có 9 thừa số như vậy

nên nhóm này đóng góp 9 thừa số 2

Tổng số thừa số 2 phân tích được từ biểu thức \(3^{1024}-1\) là 9+3=12(thừa số)

=> giá trị lớn nhất của số nguyên dương n để \(3^{1024}-1\) ⋮\(2^{n}\) là n=12

Muốn \(\frac{n^2+2n+1}{n+23}\) có giá trị nguyên thì:

\(n^2+2n+1⋮n+23\Rightarrow n^2+2n+1-n.\left(n+23\right)⋮n+23\)

\(\Rightarrow n^2+2n+1-n^2-23n⋮n+23\)

\(\Rightarrow-21n+1⋮n+23\Rightarrow-21n+1+21\left(n+23\right)⋮n+23\)

\(\Rightarrow-21n+1+21n+23⋮n+23\)

\(\Rightarrow24⋮n+23\Rightarrow n+23\inƯ\left(24\right)\)

Mà n lớn nhất nên: n+23 lớn nhất  => n+23 = 24 => n=1

Vậy n = 1

Cho mình xin lỗi:

\(-21n+1⋮n+23\Rightarrow-21n+1+21\left(n+23\right)⋮n+23\)

\(\Rightarrow-21n+1+21n+483⋮n+23\Rightarrow484⋮n+23\)

Mà n là số nguyên dương lớn nhất nên: n+23=484 => n = 461

Vậy n = 461