Heron !! Thay S theo heron Biến đôie biểu thức <=> b^+c^2 = a^2 => Q.E.D

a)Có \(b^2+c^2-a^2=cosA.2bc\)

\(S=\dfrac{1}{2}bc.sinA\)\(\Rightarrow4S=2bc.sinA\)

\(\Rightarrow\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}=\dfrac{cosA.2bc}{2bc.sinA}=cotA\) (dpcm)

b) CM tương tự câu a \(\Rightarrow\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}=\dfrac{cosB.2ac}{2ac.sinB}=cotB\); \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\dfrac{cosC.2ab}{2ab.sinC}=cotC\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow cotA+cotB+cotC=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\) (dpcm)

c) Gọi m_a;m_b;m_c là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A;B;C của tam giác ABC 

Có \(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_b^2\right)\)\(=\dfrac{4}{9}\left[\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}+\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}+\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\right]\)

\(=\dfrac{4}{9}.\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (đpcm)

d) Có \(a\left(b.cosC-c.cosB\right)=ab.cosC-ac.cosB\)

\(=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}\)

\(=b^2-c^2\) (dpcm)

Đặt \(p=\frac{a+b+c}{2}\)

=>a+b+c=2p

=>a+b-c=2p-2c

=>a+b-c=2(p-c)

Ta có: a+b+c=2p

=>a-b+c=2p-2b

=>a-b+c=2(p-b)

Ta có: a+b+c=2p

=>b+c-a=2p-2a

=>b+c-a=2(p-a)

\(S=\frac14\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\)

=>\(S=\frac14\cdot2\left(p-c\right)\cdot2\cdot\left(p-b\right)=\left(p-c\right)\left(p-b\right)\) (1)

Vì S là diện tích tam giác ABC và p là nửa chu vi của tam giác ABC

nên \(S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

=>\(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-c\right)\left(p-b\right)}=\left(p-c\right)\left(p-b\right)\)

=>\(p\left(p-a\right)\left(p-c\right)\left(p-b\right)=\left(p-c\right)^2\left(p-b\right)^2\)

=>p(p-a)=(p-c)(p-b)

=>\(2p\cdot2\left(p-a\right)=2\left(p-c\right)\cdot2\cdot\left(p-b\right)\)

=>(a+b+c)(b+c-a)=(a+b-c)(a-b+c)

=>\(\left(b+c\right)^2-a^2=a^2-\left(b-c\right)^2\)

=>\(\left(b+c\right)^2+\left(b-c\right)^2=2a^2\)

=>\(2a^2=b^2+2bc+c^2+b^2-2bc+c^2=2b^2+2c^2\)

=>\(a^2=b^2+c^2\)

=>ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{BAC}=90^0\)