1.

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\Rightarrow x^2-4x=t^2-5\)

Pt trở thành:

\(4t=t^2-5+2m-1\)

\(\Leftrightarrow t^2-4t+2m-6=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb đều lớn hơn 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-\left(2m-6\right)>0\\\left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}>1\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-2m>0\\t_1t_2-\left(t_1+t_1\right)+1>0\\t_1+t_2>2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 5\\2m-6-4+1>0\\4>2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{2}< m< 5\)

2.

Để pt đã cho có 2 nghiệm:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\\Delta'=1+4\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{11}{4}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{8}{m-3}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{m-3}=-1-\sqrt{2}\\\dfrac{1}{m-3}=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4-\sqrt{2}< \dfrac{11}{4}\left(loại\right)\\m=4+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Chọn C.

Câu 1: ĐKXĐ: 4x-1>0 và \(3x^2-2x+1>0\)

=>x>1/4 và \(x^2-\frac23x+\frac13>0\)

=>x>1/4 và \(x^2-\frac23x+\frac19+\frac29>0\)

=>x>1/4 và \(\left(x-\frac13\right)^2+\frac29>0\)

=>x>1/4

\(\ln\left(3x^2-2x+1\right)=\ln\left(4x-1\right)\)

=>\(3x^2-2x+1=4x-1\)

=>\(3x^2-6x+2=0\)

=>\(x^2-2x+\frac23=0\)

=>\(x^2-2x+1=\frac13\)

=>\(\left(x-1\right)^2=\frac13\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-1=\frac{\sqrt3}{3}\\ x-1=-\frac{\sqrt3}{3}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt3}{3}\left(nhận\right)\\ x=\frac{3-\sqrt3}{3}\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

Đáp án D

Đáp án C

Phương pháp:

Đặt 2 x = t t > 0 , đưa về phương trình bậc 2 ẩn t, tìm điều kiện của phương trình bậc 2 ẩn t để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt.

Cách giải: Đặt 2 x = t t > 0 khi đó phương trình trở thành  t 2 − 2 m t + m + 2 = 0 *

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Khi  đó:  Δ ' > 0 S > 0 P > 0 ⇔ m 2 − m − 2 > 0 2 m > 0 m + 2 > 0 ⇔ m > 2 m < − 1 m > 0 m > − 2 ⇒ m > 2

Chú ý và sai lầm: Rất nhiều học sinh sau khi đặt ẩn phụ thì quên mất điều kiện t > 0, dẫn đến việc chỉ đi tìm điều kiện đề phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

Đặt \(-x^2+2x=t\Rightarrow0\le t\le1\)

\(\Rightarrow-t^2+t-3+m=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-t+3=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-t+3\) trên \(\left[0;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)

\(f\left(0\right)=3\) ; \(f\left(1\right)=3\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{11}{4}\le f\left(t\right)\le3\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{11}{4}\le m\le3\)

a: Đặt \(t=\sqrt{x^2+1}\) (t>=1)

\(x^2-8\sqrt{x^2+1}+5-m=0\)

=>\(x^2+1-8\sqrt{x^2+1}+4-m=0\)

=>\(t^2-8t+4-m=0\)

=>\(m=t^2-8t+4\)

Đặt \(f\left(t\right)=t^2-8t+4\)

Đỉnh của (P) là:

\(t=-\frac{b}{2a}=\frac{8}{2\cdot1}=\frac82=4\)

\(f(1) = 1^2 - 8(1) + 4 = -3\)

\(f(4) = 4^2 - 8(4) + 4 = -12\)

Khi t->+∞ thì f(t)->+∞

Bảng biến thiên:

=>Tập giá trị của f(t) trên khoảng [1;+∞) là [-12;+∞)

=>Phương trình có nghiệm khi m>=-12

b: Đặt \(t=\sqrt{x^2+2x+5}\)

\(=\sqrt{x^2+2x+1+4}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}\ge2\forall x\)

=>t>=2

\(t=\sqrt{x^2+2x+5}\)

=>\(x^2+2x+5=t^2\)

=>\(x^2+2x=t^2-5\)

Phương trình ban đầu sẽ trở thành:

\((t^2-5)-8t+3-m=0\)

=>\(m=t^2-8t-2\quad(\text{với }t\ge2)\)

Đặt (P): \(f\left(t\right)=t^2-8t-2\)

Đỉnh của (P) là: \(t=\frac{-\left(-8\right)}{2\cdot1}=\frac82=4\) ∈[2;+∞)

\(f(2)=2^2-8\cdot2-2=-14\)

\(f(4)=4^2-8\cdot4-2=-18\)

Khi t->+∞ thì f(t)->+∞

=>Tập giá trị của f(t) trên khoảng [2;+∞) là [-18;+∞)

=>Phương trình ban đầu có nghiệm khi m>=-18

Đáp án B