Câu 6. (3,0 điểm) Từ một điểm ${{A}}$ nằm ngoài đường tròn ${{(O ; R)}}$, kẻ hai tiếp tuyến ${{AB, A C}}$ với $(O;R)\,\,\,(B$ và ${{C}}$ là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh bốn điểm $A, \, B, \, O, \, C$ cùng thuộc một đường tròn và $A O \perp B C$ tại ${{H}}$.
b) Vẽ đường kính ${{B D}}$. Đường thẳng qua ${{O}}$ và vuông góc với ${{A D}}$ cắt tia ${{B C}}$ tại ${{E}}$. Chứng minh $D C$ // $O A$ và ${{C D \cdot C O=A...
Đọc tiếp
Câu 6. (3,0 điểm) Từ một điểm ${{A}}$ nằm ngoài đường tròn ${{(O ; R)}}$, kẻ hai tiếp tuyến ${{AB, A C}}$ với $(O;R)\,\,\,(B$ và ${{C}}$ là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh bốn điểm $A, \, B, \, O, \, C$ cùng thuộc một đường tròn và $A O \perp B C$ tại ${{H}}$.
b) Vẽ đường kính ${{B D}}$. Đường thẳng qua ${{O}}$ và vuông góc với ${{A D}}$ cắt tia ${{B C}}$ tại ${{E}}$. Chứng minh $D C$ // $O A$ và ${{C D \cdot C O=A B \cdot C E}}$.
c) Chứng minh ${{D E}}$ là tiếp tuyến của đường tròn ${{(O ; R)}}$.
a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
b: Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
=>CB⊥CD
mà OA⊥BC
nên OA//CD
Ta có: \(\hat{CDE}=\hat{CBD}\left(=90^0-\hat{CED}\right)\)
\(\hat{CBD}=\hat{OCB}\) (ΔOBC cân tại O)
Do đó: \(\hat{CDE}=\hat{OCH}\)
mà \(\hat{OCH}=\hat{OAC}\left(=90^0-\hat{COA}\right)\)
nên \(\hat{CDE}=\hat{OAC}\)
Xét ΔCDE vuông tại C và ΔCAO vuông tại C có
\(\hat{CDE}=\hat{CAO}\)
Do đó: ΔCDE~ΔCAO
=>\(\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CO}\)
=>\(CD\cdot CO=CE\cdot CA=CE\cdot AB\)
c: Gọi K là giao điểm của OE và DA
=>OE⊥DA tại K
Xét ΔOKA vuông tại K và ΔOHE vuông tại H có
\(\hat{KOA}\) chung
DO đó: ΔOKA~ΔOHE
=>\(\frac{OK}{OH}=\frac{OA}{OE}\)
=>\(OK\cdot OE=OH\cdot OA\) (3)
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=OD^2\) (4)
Từ (3),(4) suy ra \(OK\cdot OE=OD^2\)
=>\(\frac{OK}{OD}=\frac{OD}{OE}\)
Xét ΔOKD và ΔODE có
\(\frac{OK}{OD}=\frac{OD}{OE}\)
góc KOD chung
Do đó: ΔOKD~ΔODE
=>\(\hat{OKD}=\hat{ODE}\)
=>\(\hat{ODE}=90^0\)
=>DE⊥ OD ại D
=>DE là tiếp tuyến của (O)