Ta có : \(n=\overline{abcdef}=1000\overline{abc}+\overline{def}=6\left(\overline{abc}-\overline{def}\right)+994\overline{abc}+7\overline{def}\)\(=6.\left(\overline{abc}-\overline{def}\right)+7.142\overline{abc}+7\overline{def}\)

\(=6\left(\overline{abc}-\overline{def}\right)+7\left(142\overline{abc}+\overline{def}\right)\)

Vì \(\left(\overline{abc}-\overline{def}\right)⋮7\) nên \(6\left(\overline{abc}-\overline{def}\right)⋮7\)

Lại có \(7\left(142\overline{abc}+\overline{def}\right)⋮7\)

\(\Rightarrow n=6\left(\overline{abc}-\overline{def}\right)+7\left(142\overline{abc}+\overline{def}\right)⋮7\) (đpcm)

\(M=1+7+7^1+7^2+...+7^{101}\)

\(=\left(1+7\right)+7\left(1+7\right)+...+7^{100}\left(1+7\right)\)

\(=8\cdot\left(1+7+...+7^{100}\right)⋮8\)

⇒ M = ( 7 + 7² ) + ( 7³ + 7⁴ ) + ... + ( 7¹⁹⁹⁹ + 7²⁰⁰⁰ )

⇒ M = 7.( 1 + 7 ) + 7³.( 1 + 7 ) + ... + 7¹⁹⁹⁹.( 1 + 7 )

⇒ M = 7.8 + 7³.8 + ...+ 7¹⁹⁹⁹.8

⇒ M = 8.( 7 + 7³ + ... + 7¹⁹⁹⁹ )

Vì 8 ⋮ 8 nên M ⋮ 8 ( đpcm )

M=(7.7²) + ( 7³.7⁴ ) +.......+ (7¹⁹⁹⁹+7²⁰⁰⁰)

=> M= 7.(1+7)+7³.(1+7)+........+7¹⁹⁹⁹.(1+7)

M= 7.8+7³.8+......+7¹⁹⁹⁹.8

M=8.(7+7³+.........+7¹⁹⁹⁹)

=>M chia hết cho 8

a: \(8^8+2^{20}\)

\(=\left(2^3\right)^8+2^{20}\)

\(=2^{24}+2^{20}=2^{20}\left(2^4+1\right)=2^{20}\cdot17\) ⋮17

b: \(A=10^{28}+8=10\ldots08\) (Với 28 chữ số 0)

A có tổng các chữ số là 1+0+0+...+0+8=9

=>A⋮9

Ta có: \(10^{28}=10^3\cdot10^{25}=1000\cdot10^{25}=8\cdot125\cdot10^{25}\) ⋮8

8⋮8

Do đó: \(10^{28}+8\) ⋮8

=>A⋮8

mà A⋮9

và ƯCLN(8;9)=1

nên A⋮8*9

=>A⋮72

c: \(T=2+2^2+2^3+\cdots+2^{60}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+\cdots+\left(2^{57}+2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+\cdots+2^{57}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(=15\left(2+2^5+\cdots+2^{57}\right)\)

=>T⋮15

mà 15⋮3

nên T⋮3

Ta có: \(T=2+2^2+2^3+\cdots+2^{60}\)

\(=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+\cdots+\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+\cdots+2^{58}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=7\left(2+2^4+\cdots+2^{58}\right)\) ⋮7

Nếu có một số chia hết cho 7 thì số đó nhân lên bao nhiêu cũng chia hết cho 7

Mà m²=m.m; n²=n.n nên m và n cũng chia hết cho 7

Vậy m và n chia hết cho 7

=> M=(7+7²)+(7³+7⁴)+........+(7²⁰¹¹+7²⁰¹²)

=> M=1.(7+7²)+ 7².(7+7²)+............+7²⁰¹⁰.(7+7²)

=> M=1.56+7².56+......+7²⁰¹⁰.56

=> M=56.(1+7²+.........+7²⁰¹⁰)

=> M=8.7.(1+7²+.......+7²⁰¹⁰)

=> M=8.(7+7³+...........7²⁰¹¹)

Vậy M chia hết cho 8                     ĐPCM

M=7 + 7² + 7³ +7⁴ + 7⁵ +.....+7²⁰¹²

M=(7+ 7²) + (7³+7⁴) +......+(7²⁰¹¹+7²⁰¹²)

M=7.(1+7)+ 7³.(1+7) +.....+7²⁰¹¹.(1+7)

M=7.8+7³.8+.....+7²⁰¹¹.8

M=8.(7+7³+....+7²⁰¹¹)

Vậy M chia hết cho 8

dau . là dấu nhân nhé bạn