- Tiếp tuyến với đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn.

-Tiếp tuyến với đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm ấy thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

a)Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

b)Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

c)Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm

- Tiếp tuyến với đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn.

- Tiếp tuyến với đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm ấy thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

   a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

   b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

   c) Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

a: \(MA=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

b: Xét (O) có

MA là tiếp tuyến

MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

hay M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

nên O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO\(\perp\)AB

Kẻ OC và OD

a)Ta có: AC và CM là tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại C

=>CM=AC ⁽¹⁾  , OC là phân giác của ∠AOM ⇔ ∠AOC= ∠MOC

Lại có:  BD và MD là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại D

=> BD=MD⁽²⁾  , OD là tia phân giác của ∠BOM ⇔ ∠BOD =∠MOD

Vì ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=∠AOB=180^O

Mà ∠AOC=∠COM, ∠MOD=∠DOB

Nên ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=180^o

   ⇔ 2∠COM+ 2∠MOD=180^o

   ^⇔  2(∠COM+ ∠MOD)=180^o

   ^⇔ ∠COM+ ∠MOD=\(\dfrac{180^0}{2}\)=90^o

Vì ∠COD=∠COM+ ∠MOD mà ∠COM+ ∠MOD=90^o nên ∠COD=90^o =>△COD là tam giác vuông⁽³⁾

Từ ⁽¹⁾,⁽²⁾ và⁽³⁾, suy ra:

Trong △COD,có:   CD=CM+MD =AC+BD

Vậy CD=AC+BD (đpcm)

b) Lấy I là trung điểm của CD (I ∈ CD) và kẻ OI

Ta có: △COD là tam giác vuông

 Và OI ứng với cạnh huyền CD=> IO=\(\dfrac{CD}{2}\)

=> IO=CI=ID ⁽¹⁾ 

Vì AC⊥AB⊥BD nên AC song song với BD

=> ACDB là hình thang vuông⁽¹⁾

Lại có: I là trung điểm của CD và O là trung điểm của AB

=>OI là đường trung bình của hình thang ACDB⁽²⁾

Từ (1) và (2),  suy ra: IO ⊥AB

=> AB là tiếp tuyến của đường tòn đường kính CD (đpcm)

O A B M D C I

ΔOAB cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAM và ΔOBM có

OA=OB

\(\hat{AOM}=\hat{BOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOBM

=>\(\hat{OAM}=\hat{OBM}\)

=>\(\hat{OBM}=90^0\)

=>MB là tiếp tuyến tại B của (O)

a: Xét (M;MH) có

MH là bán kính

NP⊥MH tại H

Do đó: NP là tiếp tuyến của (M;MH)

b: Xét tứ giác MHPD có \(\hat{MHP}+\hat{MDP}=90^0+90^0=180^0\)

nên MHPD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MP

=>MP>DH

c:

Xét (O) có

PH,PD là các tiếp tuyến

Do đó: MP là phân giác của góc HMD

ΔMHD cân tại M

mà MP là đường phân giác

nên MP⊥HD

Xét (O) có

ΔHDI nội tiếp

HI là đường kính

Do đó: ΔHDI vuông tại D

=>HD⊥DI

mà HD⊥MP

nên DI//MP

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được: 

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{16}{144}+\dfrac{9}{144}=\dfrac{25}{144}\)

\(\Leftrightarrow AH^2=\dfrac{144}{25}\)

hay \(AH=\dfrac{12}{5}=2.4\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được: 

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=AB^2-AH^2=3^2-2.4^2=3.24\)

hay BH=1,8

Vậy: AH=2,4; BH=1,8

b) Xét (A;AH) có 

AH là bán kính

CH⊥AH tại H(gt)

Do đó: CH là tiếp tuyến của (A;AH)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

hay CB là tiếp tuyến của (A;AH)(đpcm)

c) 

1) Xét (A) có 

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

CK là tiếp tuyến có K là tiếp điểm(gt)

Do đó: CH=CK(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (A) có 

AH là bán kính

BH⊥AH tại H(gt)

Do đó: BH là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

Do đó: BH=BI(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

mà BH=BI(cmt)

và CH=CK(cmt)

nên BC=BI+CK(đpcm)

2) Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB là tia phân giác của \(\widehat{HAI}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{HAI}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Xét (A) có 

CK là tiếp tuyến có K là tiếp điểm(gt)

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

Do đó: AC là tia phân giác của \(\widehat{HAK}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{HAK}=2\cdot\widehat{CAH}\)

Ta có: \(\widehat{KAI}=\widehat{KAH}+\widehat{IAH}\)(tia AH nằm giữa hai tia AK,AI)

mà \(\widehat{HAI}=2\cdot\widehat{HAB}\)(cmt)

và \(\widehat{HAK}=2\cdot\widehat{CAH}\)(cmt)

nên \(\widehat{KAI}=2\cdot\widehat{HAB}+2\cdot\widehat{HAC}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KAI}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KAI}=2\cdot90^0=180^0\)

hay K,A,I thẳng hàng(đpcm)