Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC), nội tiếp đường tròn (O; R). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của OM và BC. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt (O) tại E và F (E thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại I, cắt AB tại Ka) Chứng minh: MO vuông góc BC và ME.MF = MH.MOb) Chứng minh rằng tứ giác MBKC là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra 5 điểm M, B, K, O, C cùng...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC), nội tiếp đường tròn (O; R). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của OM và BC. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt (O) tại E và F (E thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại I, cắt AB tại K
a) Chứng minh: MO vuông góc BC và ME.MF = MH.MO
b) Chứng minh rằng tứ giác MBKC là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra 5 điểm M, B, K, O, C cùng thuộc một đường tròn
c) Đường thẳng OK cắt O tại N và P (N thuộc cung nhỏ AC). Đường thẳng PI cắt O tại Q (Q khác P). Chứng minh ba điểm M, N, Q thẳng hàng
AB, M
a: Xét (O) có
MB.MC là các tiếp tuyến
Do đó: MB=MC và OM là phân giác của góc BOC
ΔOBC cân tại O
mà OM là phân giác
nên OM ⊥BC tại H
Xét (O) có
\(\hat{MBE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BE
\(\hat{BFE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE
Do đó: \(\hat{MBE}=\hat{BFE}\)
Xét ΔMBE và ΔMFB có
\(\hat{MBE}=\hat{MFB}\)
góc BME chung
Do đó: ΔMBE~ΔMFB
=>\(\frac{MB}{MF}=\frac{ME}{MB}\)
=>\(MB^2=ME\cdot MF\left(1\right)\)
Xét ΔMBO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MB^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(MH\cdot MO=ME\cdot MF\)
b:
Xét tứ giác OBMC có \(\hat{OBM}+\hat{OCM}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBMC là tứ giác nội tiếp
MK//AC
=>\(\hat{MKB}=\hat{BAC}\) (hai góc đồng vị)
mà \(\hat{BAC}=\frac12\cdot\hat{BOC}=\hat{BOM}\)
nên \(\hat{BKM}=\hat{BOM}\)
=>BKOM là tứ giác nội tiếp
=>B,K,O,M cùng thuộc một đường tròn
mà B,O,C,M cùng thuộc một đường tròn
nên B,K,O,M,C cùng thuộc một đường tròn