cmr với số thức dương x y z thì x/y+y/z+z/x >=(x+y+z)/căn 3 của xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KT
0
25 tháng 3 2018
Ta có: \(xy+yz+zx>\frac{18xyz}{2+xyz}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{18}{2+xyz}\)Vì \(x;y;z>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwazt,ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=9=\frac{18}{2}\)
Mà \(x;y;z>0\Rightarrow\frac{18}{2}>\frac{18}{2+xyz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{18}{2+xyz}\Leftrightarrow xy+yz+zx>\frac{18yz}{2+xyz}\left(đpcm\right)\)
QK
1
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
16 tháng 8
Ta có $xyz\ge x+y+z+2.$
Theo bất đẳng thức AM-GM:
$xyz\le\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3.$
Suy ra $\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3\ge x+y+z+2$
$\Leftrightarrow (x+y+z)^3\ge27(x+y+z+2)$
$\Leftrightarrow (x+y+z)^3-27(x+y+z)-54\ge0$
$\Leftrightarrow (x+y+z-6)(x+y+z+3)^2\ge0.$
Vì $x,y,z>0$ nên $x+y+z+3>0.$
Do đó $x+y+z-6\ge0$
$\Leftrightarrow x+y+z\ge6.$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$ và $xyz=x+y+z+2$
$\Leftrightarrow x^3=3x+2$
$\Leftrightarrow (x-2)(x+1)^2=0$
$\Leftrightarrow x=2.$
Vậy $x=y=z=2$ và $\min(x+y+z)=6.$
câu hỏi đây nhé