p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3

=>p và q đều là các số lẻ và đều không chia hết cho 3

TH1: p=3a+1; q=3b+1

\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)

\(=\left(3a+1-3b-1\right)\left(3a+1+3b+1\right)=\left(3a-3b\right)\left(3a+3b+1\right)=3\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)\) ⋮3(2)

TH2: p=3a+1; q=3b+2

\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)

=(3a+1+3b+2)(3a+1-3b-2)

=(3a+3b+3)(3a-3b-1)

=3(a+b+1)(3a-3b-1)⋮3(1)

TH3: p=3a+2; q=3b+1

\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)

=(3a+2-3b-1)(3a+2+3b+1)

=(3a+3b+3)(3a-3b+1)

=3(a+b+1)(3a-3b+1)⋮3(3)

TH4: p=3a+2; q=3b+2

\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)

=(3a+2-3b-2)(3a+2+3b+2)

=(3a-3b)(3a+3b+4)

=3(a-b)(3a+3b+4)⋮3(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra \(p^2-q^2\) ⋮3

p,q là các số lẻ

=>p=2a+1; q=2b+1

\(p^2=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1=4a\left(a+1\right)+1\)

\(q^2=\left(2b+1\right)^2=4b^2+4b+1=4b\left(b+1\right)+1\)

Vì a;a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên a(a+1)⋮2

=>4a(a+1)⋮8

Vì b;b+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên b(b+1)⋮2

=>4b(b+1)⋮8

\(p^2-q^2=\left(2a+1\right)^2-\left(2b+1\right)^2\)

=4a(a+1)-4b(b+1)

mà 4a(a+1)⋮8 và 4b(b+1)⋮8

nên \(p^2-q^2\) ⋮8

mà \(p^2-q^2\) ⋮3

và ƯCLN(3;8)=1

nên \(p^2-q^2\) ⋮3*8

=>\(p^2-q^2\) ⋮24

mà 48⋮24

nên \(p^2-q^2-48\) ⋮24

2) Vì p là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp sau:

a) Với p = 2 thì p + 10 = 2 + 10 = 12 là hợp số (loại), tương tự với p + 20 cũng là hợp số.

Với p = 3 thì p + 10 = 3 + 10 = 13 là số nguyên tố (nhận); p + 20 = 3 + 20 = 23 là số nguyên tố (nhận)

Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên p có dạng 3k + 1; 3k + 2

Với p = 3k + 1 => p + 10 = 3k + 1 + 10 = 3k + 11

Vì p lak số nguyên tố và p> 3 nên p sẽ có dạng 3k+1 và 3k+2

TH1: Nếu p=3k+1 thì p+1 = p+ 2= 3k+1+2=3k+3 chai hêt cho 3

.........................................................................→ là hợp số ( loai)

Th2: Nếu p=3k+2 thì P+1 = 3k+2+1= 3k + 3 chia hết cho 3 ⁽¹⁾

Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên p là số lẻ

→ p+1 là số chẵn → p+1 chia hết cho 2 ⁽²⁾

Mà (2;3)=1 nên p+1 chia hết cho ( 2.3) hay p+1 chia hết cho6

Số nguyên tố lớn hơn 3 sẽ có dạng 3k+1 hay 3k+2 ( k ϵ N)

Nếu p = 3k+1 thì p+2= 3k+1+2= 3k+3= 3.(k+1) là số nguyên tố. Vì 3.(k+1) chia hết cho 3 nên dạng p = 3k+1 không thoả mãn.

Vậy p có dạng p = 3k+2 ( Vì p+2= 3k+2+2= 3k+4 là một số nguyên tố)

Suy ra p+1= 3k+2+1= 3k+3= 3.(k+1) chia hết cho 3

Mặt khác, do p là số nguyên tố lớn hơn 3 cũng như lớn hơn 2 nên p là số nguyên tố lẻ suy ra p+1 là số chẵn suy ra p+1 là số chia hết cho 2

Vì p chia hết cho 2 và 3 mà UWCLN(2;3)=1 nên p+1 chia hết cho 6

Mong bạn tick cho mk nha!

Xét 3 số n^2-1,n^2,n^2+1 là 3 số liên tiếp => 1 trong 3 số sẽ chia hết cho 3.

Vì n không chia hết cho 3 =>n^2 không chia hết cho 3 => 1 trong 2 số n^2-1 và n^2+1 sẽ chia hết cho 3.

Từ đó => số nào chia hết cho 3 thì số đó là hợp số.Còn số còn lại sẽ là số nguyên tố.

Vậy n^2-1 và n^2+1 không đồng thời là số nguyên tố.

đề bài sai nhé theo đl fermat thì a^(p-1) đồng dư 1 mod p

nhớ có lời giải nha.  THANKS BẠN NHIỀU