\(5x^2+10y^2-6xy-4x-10y+14\)

\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(y^2-10y+25\right)-12\)

\(=\left(2x-1\right)^2+\left(x-3y\right)^2+\left(y-5\right)^2-12\ge-12\) đề có nhầm không bạn?

có 1 cách mà xài SOS xấu lắm chơi ko :))

tìm thấy rồi Tổng hợp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức-Tập 2: Luyện thi học sinh giỏi toán - Tổng hợp - Google Sách

Ta có: \(3mx>x+2\Rightarrow\left(3m-1\right)x>2\left(1\right)\)

Với \(3m-1=0\Rightarrow0>2\): Vô lý nên \(3m-1\ne0.\)

Với \(3m-1>0\Leftrightarrow\Rightarrow m>\frac{1}{3}\Rightarrow x>\frac{2}{3m-1}.\)

Để (1) đúng với mọi x > 1 suy ra\(1\ge\frac{2}{3m-1}\Rightarrow\frac{2}{3m-1}-1\le0\Rightarrow\frac{3-3m}{3m-1}\le0\)

Do 3m - 1 > 0 nên \(3-3m\le0\Rightarrow m\ge1.\)

Kết hợp điều kiện suy ra \(m\ge1.\)

Với \(3m-1< 0\Leftrightarrow\Rightarrow m< \frac{1}{3}\Rightarrow x< \frac{2}{3m-1}.\)

Khi đó không xảy ra trường hợp \(\forall x>1\) thì \(x< \frac{2}{3m-1}.\)

Vậy trường hợp này loại.

Kết luận \(m\ge1.\)

+ x+y=2 ta có bảng

+khi x=0, y=2 ta có BPT 0^{4 +} 2⁴ >= 2

+ khi x= 1, y=1 ta có BPT 1⁴ + 1⁴ >=2

⁺ khi x = 2, y=0 ta có BPT 2⁴ + 0⁴ >=2

Nên x⁴ + y⁴ >=2

có phải thuộc số nguyên dâu bạn

Chứng minh: 3n > 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3k > 3k + 1.

Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3k+ 1 > 3(k+1) + 1

Thật vậy, ta có:

3k + 1 = 3.3k > 3.(3k + 1) (Vì 3k > 3k + 1 theo giả sử)

= 9k + 3

= 3k + 3 + 6k

= 3.(k + 1) + 6k

> 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1)

⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.