\(sin\left(2x+\frac{\pi}{2}+2\pi\right)-3cos\left(x+\frac{\pi}{2}-4\pi\right)=1+2sinx\)

\(\Leftrightarrow sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)-3cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=1+2sinx\)

\(\Leftrightarrow cos2x+3sinx=1+2sinx\)

\(\Leftrightarrow1-2sin^2x+sinx=1\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(1-2sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\sinx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Nghiệm lớn nhất là \(x=\pi\)

b/

\(cos4x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos6x\)

\(\Leftrightarrow2\left(2cos^22x-1\right)=1+4cos^32x-3cos2x\)

\(\Leftrightarrow4cos^32x-4cos^22x-3cos2x+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cos2x-1\right)\left(4cos^22x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cos2x-1\right)\left(2cos4x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=1\\cos4x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\\x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\left\{0;-\frac{11\pi}{12};-\frac{5\pi}{12};\frac{\pi}{12};\frac{7\pi}{12};-\frac{7\pi}{12};-\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12};\frac{11\pi}{12}\right\}\)

Bạn tự cộng lại

c/

\(\Leftrightarrow2cos^2x-1-\left(2m+1\right)cosx+m+1=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^2x-cosx-2mcosx+m=0\)

\(\Leftrightarrow cosx\left(2cosx-1\right)-m\left(2cosx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cosx-m\right)\left(2cosx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\frac{1}{2}\\cosx=m\end{matrix}\right.\)

Do \(cosx=\frac{1}{2}\) vô nghiệm trên \(\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)\) nên pt có nghiệm khi và chỉ khi \(cosx=m\) có nghiệm trên khoảng đã cho

Mà \(-1< cosx< 0\Rightarrow-1< m< 0\)

Bài 1:

ĐK : sinx cosx > 0

Khi đó phương trình trở thành

sinx+cosx=\(2\sqrt{\sin x\cos x}\)

ĐK sinx + cosx >0 → sinx>0 ; cosx>0

Khi đó \(2\sqrt{\sin x\cos x}\Leftrightarrow2\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)

Vậy ...

Bài 2:

ĐK : \(\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\ge0\)

Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\sin2x=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\end{matrix}\right.\)

Trong khoảng từ \(\left(-\pi,\pi\right)\) ta nhận được các giá trị :

\(x=\frac{\pi}{12}\) (TMĐK)

\(x=-\frac{11\pi}{12}\) (KTMĐK)

\(x=\frac{5\pi}{12}\) (KTMĐK)

\(x=-\frac{7\pi}{12}\) (TMĐK)

Vậy ta có 2 nghiệm thõa mãn \(x=\frac{\pi}{12}\) và \(x=-\frac{7\pi}{12}\)

7.

Đặt \(\left|sinx+cosx\right|=\left|\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|=t\Rightarrow0\le t\le\sqrt{2}\)

Ta có: \(t^2=1+2sinx.cosx\Rightarrow sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}\) (1)

Pt trở thành:

\(\frac{t^2-1}{2}+t=1\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-3=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1) \(\Rightarrow2sinx.cosx=t^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow sin2x=0\Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}\)

\(\Rightarrow x=\left\{\frac{\pi}{2};\pi;\frac{3\pi}{2}\right\}\Rightarrow\sum x=3\pi\)

6.

\(\Leftrightarrow\left(1-sin2x\right)+sinx-cosx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x-2sinx.cosx\right)+sinx-cosx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)^2+sinx-cosx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)\left(sinx-cosx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx-cosx=0\\sinx-cosx=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0\\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\frac{\pi}{4}=k\pi\\x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=k\pi\\x=\frac{3\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)

Pt có 3 nghiệm trên đoạn đã cho: \(x=\left\{\frac{\pi}{4};0;\frac{\pi}{2}\right\}\)