.

a: ĐKXĐ: x>=1

Đặt \(a=\sqrt{5x-1};b=\sqrt{x-1}\)

\(a^2-b^2=\left(5x-1\right)-\left(x-1\right)=4x\)

\(\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{5x-1+x-1}{2}=\frac{6x-2}{2}=3x-1\)

\(ab=\sqrt{\left(5x-1\right)\left(x-1\right)}=\sqrt{5x^2-6x+1}\)

Thay vào phương trình ban đầu, ta được: \(\left(a+b\right)\left(\frac{a^2+b^2}{2}-ab\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

=>\(\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

=>\(\frac{\left(a-b\right)^2}{2}=\left(a-b\right)\)

=>\(\left(a-b\right)^2=2\left(a-b\right)\)

=>(a-b)(a-b-2)=0

TH1: a-b=0

=>a=b

=>5x-1=x-1

=>x=0(loại)

TH2: a-b-2=0

=>\(\sqrt{5x-1}-\sqrt{x-1}-2=0\)

=>\(\sqrt{5x-1}=\sqrt{x-1}+2\)

=>\(5x-1=x-1+4+2\cdot2\cdot\sqrt{x-1}\)

=>\(4\sqrt{x-1}+x+3=5x-1\)

=>\(4\sqrt{x-1}=5x-1-x-3=4x-4\)

=>\(\sqrt{x-1}=x-1\)

=>\(\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-1=0\\ x-1=1\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=1\left(nhận\right)\\ x=2\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

Xem lại đề bạn nhé

1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\). 

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)

\(ĐK:x,y\in R\)

Từ 2 PT \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2}=\sqrt{\left(x-5\right)^2+\left(y+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+y^2-2y+2=x^2-10x+y^2+2y+26\\ \Leftrightarrow12x-4y-24=0\\ \Leftrightarrow3x-y-6=0\\ \Leftrightarrow y=3x-6\)

Thay vào \(PT\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(3x-8\right)^2}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(3x-7\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow10x^2-50x+65=10x^2-40x+50\\ \Leftrightarrow10x=15\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow y=-\dfrac{3}{2}\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)