Bài 1: Xét ΔABC vuông tại A có cos B=\(\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{a}{BC}=cos60=\frac12\)

=>BC=2a

Gọi M là trung điểm của BC

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=a\)

Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AM=2a\)

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=2a\)

Bài 2:

a: ABCD là hình vuông cạnh a

=>AB=BC=CD=DA=a

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(AC=a\sqrt2\)

\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right|=BC=a\)

b: ABCD là hình vuông

=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=a\sqrt2\)

c: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=AC=a\sqrt2\)

Bài 1: 

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại B, ta được:

\(AC^2=BC^2+AB^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=AC^2-BC^2=12^2-8^2=80\)

hay \(AB=4\sqrt{5}cm\)

Vậy: \(AB=4\sqrt{5}cm\)

Bài 2: 

Áp dụng định lí Pytago vào ΔMNP vuông tại N, ta được:

\(MP^2=MN^2+NP^2\)

\(\Leftrightarrow MN^2=MP^2-NP^2=\left(\sqrt{30}\right)^2-\left(\sqrt{14}\right)^2=16\)

hay MN=4cm

Vậy: MN=4cm

Bài 1 :

- Áp dụng định lý pi ta go ta được :\(BA^2+BC^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2+8^2=12^2\)

\(\Leftrightarrow AB=4\sqrt{5}\) ( cm )

Vậy ...

Bài 2 :

- Áp dụng định lý pi ta go vào tam giác MNP vuông tại N có :

\(MN^2+NP^2=MP^2\)

\(\Leftrightarrow MN^2+\sqrt{14}^2=\sqrt{30}^2\)

\(\Leftrightarrow MN=4\) ( đvđd )

Vậy ...

Bài 1: (bạn tự vẽ hình vì hình cũng dễ)

Ta có: AB = AH + BH = 1 + 4 = 5 (cm)

Vì tam giác ABC cân tại B => BA = BC => BC = 5 (cm)

Xét tam giác BCH vuông tại H có:

  \(HB^2+CH^2=BC^2\left(pytago\right)\)

  \(4^2+CH^2=5^2\)

  \(16+CH^2=25\)

\(\Rightarrow CH^2=25-16=9\)

\(\Rightarrow CH=\sqrt{9}=3\left(cm\right)\)

Tới đây xét tiếp pytago với tam giác ACH là ra AC nhé

Bài 2: Sử dụng pytago với tam giác ABH => AH

Sử dụng pytago với ACH => AC

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC=12\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AB=9\left(cm\right)\)

hay AH=7,2(cm)

AB=3/4AC 

Theo pytago ta có: AB²+AC²=BC²

(¾AC)²+AC²=15² 

=>AC=12 

=>AB=¾.12=9 

AB.AC=AH.BC( HỆ THỨC LƯỢNG)

=>AH=7.2

a: Đặt \(\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=k\)

=>AB=3k; AC=4k

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(\left(3k\right)^2+\left(4k\right)^2=100^2\)

=>\(25k^2=100^2\)

=>\(k^2=\frac{100^2}{25}=100\cdot\frac{100}{25}=100\cdot4=400=20^2\)

=>k=20

=>\(AB=3\cdot20=60\left(\operatorname{cm}\right);AC=4\cdot20=80\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Kẻ AH⊥BC tại H

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH=\frac{60^2}{100}=36\left(\operatorname{cm}\right)\)

BH+CH=BC

=>CH=100-36=64(cm)

Gọi M là trung điểm của BC

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=2\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABC có AM là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AM=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

a: Đặt AD=DE=FE=AF=a

ΔADE vuông tại D

=>\(DA^2+DE^2=AE^2\)

=>\(AE^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(AE=a\sqrt2\)

Ta có: ADEF là hình vuông

=>FE//AD

=>FE//AB

=>\(\hat{CEF}=\hat{EBD}\) (hai góc đồng vị)

Xét ΔFEC vuông tại F và ΔDBE vuông tại D có

\(\hat{FEC}=\hat{DBE}\)

Do đó: ΔFEC~ΔDBE

=>\(\frac{FC}{DE}=\frac{EC}{BE}=\frac{FE}{DB}\)

=>\(CF\cdot BD=DE\cdot FE=a\cdot a=a^2=\frac{AE^2}{2}\)

b: Xét ΔBDE vuông tại D và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{DBE}\) chung

Do đó; ΔBDE~ΔBAC

=>\(\frac{BD}{BA}=\frac{DE}{AC}\)

=>\(BD=DE\cdot\frac{AB}{AC}\)

Xét ΔCFE vuông tại F và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{FCE}\) chung

Do đó: ΔCFE~ΔCAB

=>\(\frac{CF}{CA}=\frac{FE}{AB}\)

=>\(CF=\frac{AC}{AB}\cdot FE\)

\(\frac{BD}{CF}=\frac{DE\cdot AB}{AC}:\frac{AC\cdot FE}{AB}=\frac{DE\cdot AB}{AC}\cdot\frac{AB}{AC\cdot FE}=\frac{AB^2}{AC^2}\)