\(1,HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{256}{9}\\ \Rightarrow AB=\sqrt{BH\cdot BC}=\sqrt{\left(\dfrac{256}{9}+9\right)9}=\sqrt{337}\\ 2,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\\ \Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=6,4\left(cm\right)\\ 3,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=9\\ \Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=5,4\\ 4,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{9\left(6+9\right)}=3\sqrt{15}\\ 5,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4\sqrt{7}\left(cm\right)\\ \Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=3\sqrt{7}\left(cm\right)\\ 6,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{12\left(12+8\right)}=4\sqrt{15}\left(cm\right)\)

Anh ơi

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(HC=\frac{6^2}{4}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

BC=BH+HC=4+9=13(cm)

Xét ΔCAB vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CA^2=CH\cdot CB=9\cdot13=117\)

=>\(CA=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\) (cm)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH\left(BH+16\right)=15^2=225\)

=>\(BH^2+16\cdot BH-225=0\)

=>(BH+25)(BH-9)=0

=>BH-9=0

=>BH=9(cm)

BC=BH+CH=9+16=25(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=25^2-15^2=625-225=400=20^2\)

=>AC=20(cm)

c: AB:AC=3:4

=>\(\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=k\)

=>AB=3k; AC=4k

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

=>\(\frac{1}{\left(3k\right)^2}+\frac{1}{\left(4k\right)^2}=\frac{1}{6^2}\)

=>\(\frac{1}{9k^2}+\frac{1}{16k^2}=\frac{1}{6^2}\)

=>\(\frac{25}{144k^2}=\frac{1}{36}\)

=>\(144k^2=25\cdot36=900\)

=>\(k^2=\frac{900}{144}=6,25=2,5^2\)

=>k=2,5

=>\(AB=3\cdot2,5=7,5;AC=4\cdot2,5=10\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=7,5^2+10^2=12,5^2\)

=>BC=12,5

Chu vi tam giác ABC là;

AB+AC+BC=7,5+10+12,5=30

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot7,5\cdot10=37,5\)

Áp dụng HTL trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

\(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow15^2=BH\left(BH+HC\right)\)

\(\Rightarrow225=BH\left(BH+16\right)\)

\(\Rightarrow BH^2+16BH-225=0\)

\(\Rightarrow BH=9\)

Áp dụng HTL:

\(AC^2=HC.BC\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{16\left(16+9\right)}=20\)

Bạn xem hình.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

\(BC=BH+HC=9+16=25\\ AB^2=BH.BC\\ =>AB=\sqrt{9.25}=15\\ AC^2=HC.BC\\ =>AC=\sqrt{16.25}=20\\ AH^2=BH.HC\\ =>AH=\sqrt{9.16}=12\)

Bài 1: 

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên CH=BC-BH=15-5,4=9,6(cm)

b) Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BC=1+3=4(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=1\cdot4=4\left(cm\right)\\AC^2=CH\cdot BC=3\cdot4=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Bài 1: 

AH=12cm

AC=20cm

\(\widehat{ABC}=37^0\)