\(\hept{\begin{cases}AB^2-BH^2=AH^2\\AC^2-CH^2=AH^2\end{cases}\Rightarrow}AB^2-BH^2=AC^2-CH^2\Rightarrow AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\)

Tham khảo nha .

Vẽ  HD // AC . và HE // AB 

Ta có : \(HD//AC\)

và \(BH\perp AC\)( vì H là trực tâm của tam giác ABC )

\(\Rightarrow HD\perp BH\)

\(\Rightarrow DB>BH\)

( Cạnh đối diện với góc vuông)

Chứng minh tương tự như trên ta có :

\(EC//DH\)

\(\Rightarrow CH\perp AB\)

\(\Rightarrow CH\perp CE\)

\(\Rightarrow EC>CH\)(Cạnh đối góc vuông)

Mặt khác ta có :

\(HD//AE\)

\(HE//DA\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác AEHD là hình bình hành 

\(\Rightarrow AD=HE\)

Xét tam giác AEH có :

\(HE+AE>AH\)

\(\Rightarrow AD+AE>AH\)

\(\Leftrightarrow AB+AC=AD+DB+AE+EC\)

\(=\left(AD+AE\right)+DB+EC>AH+BH+CH\)

Chứng minh tương tự ta có :

\(AB+BC>AH+BH+CH\)

\(AC+BC>AH+BH+CH\)

Do đó : \(2\left(AB+BC+AC\right)>3\left(AH+BH+CH\right)\)

\(\Rightarrow AB+BC+AC>\frac{3}{2}\left(AH+BH+CH\right)\)(đpcm)

A B C D E H

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔACH vuông tại H, ta được:

\(AC^2=CH^2+AH^2\)

hay \(CH^2=AC^2-AH^2\)

Ta có: \(AB^2+CH^2=AH^2+BH^2+AC^2-AH^2\)

nên \(AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\)(đpcm)

a, Xét tam giác ABC và tam giác HBA có 

^B _ chung ; ^BAC = ^HBA = 90⁰

Vậy tam giác ABC ~ tam giác HBA (g.g) 

b, Xét tam giác AHC và tam giác BHA ta có 

^AHC = ^BHA = 90⁰

^HAC = ^HBA ( cùng phụ ^HAB ) 

Vậy tam giác AHC ~ tam giác BHA (g.g) 

\(\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{HC}{AH}\Rightarrow AH^2=HC.HB\)

Ta có: ΔBEA vuông tại E

=>\(BE^2+EA^2=BA^2\)

=>\(AB^2-AE^2=BE^2\left(1\right)\)

ΔBEC vuông tại E

=>\(BE^2+EC^2=BC^2\)

=>\(CB^2-CE^2=BE^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AB^2-AE^2=CB^2-CE^2\)

=>\(AB^2-BC^2=AE^2-CE^2\left(3\right)\)

ΔHEA vuông tại E

=>\(EH^2+EA^2=HA^2\)

=>\(EH^2=AH^2-AE^2\) (4)

ΔHEC vuông tại E

=>\(HE^2+EC^2=HC^2\)

=>\(HE^2=CH^2-CE^2\left(5\right)\)

Từ (4),(5) suy ra \(AH^2-AE^2=CH^2-CE^2\)

=>\(AH^2-CH^2=AE^2-CE^2\left(6\right)\)

Từ (3),(6) suy ra \(BA^2-BC^2=HA^2-HC^2\)

=>\(BA^2+HC^2=HA^2+BC^2\)