a: Ta có: ΔABC vuông tại A

nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

hay \(\widehat{C}=60^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AC=AB\cdot\tan30^0\)

\(=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

1.

a. Ta có: \(AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100\)

\(BC^2=10^2=100\)

 \(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\) \(\Rightarrow\Delta\)ABC vuông tại A

b. \(\Delta\)ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có:

AB.AC = AH.BC

hay 6.8 = AH.10

=> AH = \(\dfrac{6.8}{10}=4.8\)

Bài 4:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>AC=4(cm)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac35\)

=>\(\frac{DA}{3}=\frac{DC}{5}\)

mà DA+DC=AC=4cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{DA}{3}=\frac{DC}{5}=\frac{DA+DC}{3+5}=\frac48=0,5\)

=>\(\begin{cases}DA=3\cdot0,5=1,5\left(\operatorname{cm}\right)\\ DC=5\cdot0,5=2,5\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)

b: ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD^2=3^2+1,5^2=9+2,25=11,25=\frac{45}{4}\)

=>\(BD=\frac{3\sqrt5}{2}\left(\operatorname{cm}\right)\)

BÀi 3:

a: Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCAB

=>\(\frac{CH}{CB}=\frac{AH}{AB}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{BA}{BC}=\frac35\)

=>15/BC=3/5=15/25

=>BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>BH=15^2/25=9(cm)

BH+HC=BC

=>HC=25-9=16(cm)

b: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(EF\cdot BC=AB\cdot AC\)

BÀi 2:

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)

=>AH=192/20=9,6(cm)
Bài 1:

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>AH*10=6*8=48

=>AH=4,8(cm)

Bài 4:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>AC=4(cm)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac35\)

=>\(\frac{DA}{3}=\frac{DC}{5}\)

mà DA+DC=AC=4cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{DA}{3}=\frac{DC}{5}=\frac{DA+DC}{3+5}=\frac48=0,5\)

=>\(\begin{cases}DA=3\cdot0,5=1,5\left(\operatorname{cm}\right)\\ DC=5\cdot0,5=2,5\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)

b: ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD^2=3^2+1,5^2=9+2,25=11,25=\frac{45}{4}\)

=>\(BD=\frac{3\sqrt5}{2}\left(\operatorname{cm}\right)\)

BÀi 3:

a: Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCAB

=>\(\frac{CH}{CB}=\frac{AH}{AB}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{BA}{BC}=\frac35\)

=>15/BC=3/5=15/25

=>BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>BH=15^2/25=9(cm)

BH+HC=BC

=>HC=25-9=16(cm)

b: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(EF\cdot BC=AB\cdot AC\)

BÀi 2:

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)

=>AH=192/20=9,6(cm)
Bài 1:

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>AH*10=6*8=48

=>AH=4,8(cm)

+/Xét tam giác: ABD và Tam Giác IBD.......... có BD chung,......... góc ABD =góc CBD ( Vì BD là phân giác góc ABC) .........,Lại cso góc BAD=BDI=90*(cái này thì theo giả thiết nhé) 
----->> đến đây thì suy ra đc điều cần chứng minh chưa nhỉ hì^^ 2 tam giác ấy bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn....đúng chưa nào.

a.

Trong tam giác vuông ABC:

\(tan\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AC=AB.tan\widehat{ACB}=30.tan30^0=10\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=20\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(\widehat{ABC}=90^0-\widehat{ACB}=60^0\)

b.

Áp dụng định lý Pitago:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{569}\left(cm\right)\)

\(tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{13}{20}\Rightarrow\widehat{ABC}\approx33^0\)

\(\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}=57^0\)

a: \(\widehat{B}=90^0-30^0=60^0\)

XétΔABC vuông tại A có 

\(\sin C=\dfrac{AB}{BC}\)

nên AB=5cm

=>\(AC=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

b: \(\widehat{C}=90^0-30^0=60^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin C=\dfrac{AB}{BC}\)

hay \(BC=16\sqrt{3}\left(cm\right)\)

=>\(AC=8\sqrt{3}\left(cm\right)\)

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC

Suy ra: BH/BA=BA/BC

hay \(BA^2=BH\cdot BC\)

b: \(AH=\sqrt{HB\cdot HC}=6\left(cm\right)\)

\(AB=\sqrt{BH\cdot BC}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)

hay AF/AC=AE/AB

Xét ΔAFE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có 

AF/AC=AE/AB

Do đó:ΔAFE\(\sim\)ΔACB