Cho đường tròn (O;R) và 1 điểm P cố định trong đường tròn, 2 dây AC, BD thay đổi nhưng vuông góc với nhau tại P.Xác định vị trí của AC và BD sao cho SABCD đạt giát trị lớn nhất?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
9 tháng 3
a: Qua A, kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt MN tại I
Xét (O) có
IM,IA là các tiếp tuyến
Do đó: IM=IA và OI là phân giác của góc AOM; IO là phân giác của góc MIA
Xét (O') có
IA,IN là các tiếp tuyến
Do đó: IA=IN; O'I là phân giác của góc AO'N; IO' là phân giác của góc AIN
Ta có: IM=IA
IA=IN
Do đó: IM=IN
=>I là trung điểm của MN
Xét ΔAMN có
AI là đường trung tuyến
\(AI=\frac{MN}{2}\)
Do đó: ΔAMN vuông tại A
=>\(\hat{MAN}=90^0\)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥BE tại M và \(\hat{EMA}=90^0\)
Xét (O') có
ΔANC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔANC vuông tại N
=>AN⊥EC tại N và \(\hat{ANE}=90^0\)
Xét tứ giác EMAN có \(\hat{EMA}=\hat{ENA}=\hat{MAN}=90^0\)
nên EMAN là hình chữ nhật
=>\(\hat{MEN}=90^0\)
=>\(\hat{BEC}=90^0\)
b: Ta có: EMAN là hình chữ nhật
=>EA cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của MN
nên I là trung điểm của EA
=>E,I,A thẳng hàng
Xét ΔEAB vuông tại A có AM là đường cao
nên \(EM\cdot EB=EA^2\left(1\right)\)
Xét ΔEAC vuông tại A có AN là đường cao
nên \(EN\cdot EC=EA^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(EM\cdot EB=EN\cdot EC\)
c: AB=2AO=18(cm)
AC=2AO'=2*4=8(cm)
Xét ΔEBC vuông tại E có EA là đường cao
nên \(EA^2=AB\cdot AC=18\cdot8=144\)
=>EA=12(cm)
EMAN là hình chữ nhật
=>EA=MN
=>MN=12(cm)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
4 tháng 10 2025
a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔBCD có
O,H lần lượt là trung điểm của BD,BC
=>OH là đường trung bình của ΔBCD
=>CD=2OH
Vì AC⊥BD
nên \(S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD\)
Ta có: \(AC\cdot BD<=\frac{\left(AC+BD\right)^2}{4}\)
=>\(\frac12\cdot AC\cdot BD\le\frac18\cdot\left(AC+BD\right)^2\)
=>\(S_{ABCD}\le\frac12\cdot\left(AC+BD\right)^2\)
Dấu '=' xảy ra khi AC=BD
Kẻ OH⊥AC tại H, OK⊥BD tại K
=>OH,OK lần lượt là khoảng cách từ O đến dây AC và khoảng cách từ O đến dây BD
mà AC=BD
nên OH=OK
Xét tứ giác OHPK có \(\hat{OHP}=\hat{OKP}=\hat{KOH}=90^0\)
nên OHPK là hình chữ nhật
Hình chữ nhật OHPK có OH=OK
nên OHPK là hình vuông
=>OP là phân giác của góc HOK
=>\(\hat{POH}=45^0\)
=>\(\hat{OP;OH}=45^0\)
=>\(\hat{OP;BD}=45^0\)
hay \(\hat{OPD}=45^0\)
Vậy: Diện tích ABCD lớn nhất khi AC=BD và BD nằm ở vị trí sao cho \(\hat{OPD}=45^0\)