A B C M H

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên ta có AM = MC = MB = BC/2

Dễ thấy \(\widehat{AMB}=2.\widehat{ACB}\) (Tam giác AMC cân tại M có AMB là góc ngoài)

Suy ra : \(Sin2\alpha=Sin\widehat{AMB}=\frac{AH}{AM}\)

Mặt khác ta lại có \(BC=2AM\) ; \(AH=\frac{AB.AC}{BC}\) \(\Rightarrow Sin2\alpha=\frac{\frac{AB.AC}{BC}}{\frac{BC}{2}}=\frac{2AB.AC}{BC^2}=2.\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{BC}=2Sin\widehat{ABC}.Sin\widehat{ACB}=2Cos\alpha.Sin\alpha\)

Vậy \(Sin2\alpha=2Sin\alpha.Cos\alpha\)

Đề bài sai, phản ví dụ:

Tam giác ABC vuông tại A với \(AB=1;AC=\sqrt{3};BC=2\)

Khi đó \(AM=\dfrac{1}{2}BC=1=AB\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Góc \(B=60^0;A=90^0\)

Khi đó: \(sinA=1\) trong khi \(2sin\left(B-A\right)=2sin\left(-30\right)=-1\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có tan B=\(\frac{AC}{AB}\) ; cos B=\(\frac{BA}{BC}\)

\(1+\tan^2B=1+\left(\frac{AC}{AB}\right)^2=\frac{AB^2+AC^2}{AB^2}=\frac{BC^2}{AB^2}\)

\(\frac{1}{cos^2B}=1:\left(\frac{BA}{BC}\right)^2=1:\frac{BA^2}{BC^2}=\frac{BC^2}{BA^2}\)

Do đó: \(1+\tan^2B=\frac{1}{cos^2B}\)

b:

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC;AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\)

Xét ΔABC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC};cosB=\frac{AB}{BC}\)

\(a\cdot\sin B\cdot cosB\)

\(=BC\cdot\frac{AB}{BC}\cdot\frac{AC}{BC}=\frac{AH\cdot BC}{BC}=AH\)

Xét ΔABC vuông tại A có cos B=\(\frac{BA}{BC}\)

=>\(cos^2B=\frac{BA^2}{BC^2}=\frac{BH\cdot BC}{BC^2}=\frac{BH}{BC}\)

=>\(BH=BC\cdot cos^2B=a\cdot cos^2B\)

TA có: BH+CH=BC

=>\(CH=a-a\cdot cos^2B=a\left(1-cos^2B\right)=a\cdot\sin^2B\)