Bài 1:

a: \(f^{\prime}\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(1-x^2\right)\left(2x-1\right)^3\)

\(=\left(1-x\right)\left(x+1\right)^2\cdot\left(2x-1\right)^3\)

Đặt f'(x)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}1-x=0\\ x+1=0\\ 2x-1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\\ x=\frac12\end{array}\right.\)

Bảng xét dấu:

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (1/2;1); nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1);(-1;1/2);(1;+∞)

b; Đặt f'(x)=0

=>\(\left(x+2\right)\left(x-3\right)^2\cdot\left(x-4\right)^3=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+2=0\\ x-3=0\\ x-4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=3\\ x=4\end{array}\right.\)

Bảng xét dấu:

=>Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2);(4;+∞)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2;3); (3;4)

Ta có 

Bảng biến thiên của hàm số y= g( x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( 3: + ∞)  hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; -3) .

Hàm số có 3 cực trị, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x= ±3

Vậy có 3 khẳng định đúng là khẳng định I, II, IV

Chọn C.

a) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1 = 1\)

Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( x \right)^\prime } = 1\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\\{\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2}\\...\\{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{{\rm{x}}^{n - 1}}\end{array}\)

a) \(g'\left( x \right) = y' = {\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)^,}.\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

b) \(g'\left( x \right) =  - 2{\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)^,}.\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

a: Nếu a là số nguyên dương thì TXĐ là D=R

Nếu a là số không phải nguyên dương thì TXĐ là D=R\{0}

Nếu a không là số nguyên thì TXĐ: D=R

b: \(y'=\left(x^a\right)'=\left(e^{a\cdot lnx}\right)'\)

\(=\dfrac{a}{x}\cdot e^{a\cdot lnx}=\dfrac{a}{x}\cdot x^a=a\cdot x^{a-1}\)

Chọn đáp án D.

Đáp án: B.

Xét f(x) = x 3  + m x 2  + x - 5

Vì 

và f(0) = -5 với mọi m ∈ R cho nên phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm dương.

1. \(y'=3x^2\sqrt{x}+\dfrac{x^3-5}{2\sqrt{x}}=\dfrac{7x^3-5}{2\sqrt{x}}\)

2. \(y'=3x^5+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

3. \(y'=2-\dfrac{2}{\left(x-2\right)^2}\)

1) \(f\left(x\right)=2x-5\)

\(f'\left(x\right)=2\)

\(\Rightarrow f'\left(4\right)=2\)

2) \(y=x^2-3\sqrt[]{x}+\dfrac{1}{x}\)

\(\Rightarrow y'=2x-\dfrac{3}{2\sqrt[]{x}}-\dfrac{1}{x^2}\)

3) \(f\left(x\right)=\dfrac{x+9}{x+3}+4\sqrt[]{x}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1.\left(x+3\right)-1.\left(x+9\right)}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{4}{2\sqrt[]{x}}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{x+3-x-9}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{2}{\sqrt[]{x}}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{12}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{2}{\sqrt[]{x}}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=2\left[\dfrac{6}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{1}{\sqrt[]{x}}\right]\)

\(\Rightarrow f'\left(1\right)=2\left[\dfrac{6}{\left(1-3\right)^2}+\dfrac{1}{\sqrt[]{1}}\right]=2\left(\dfrac{3}{2}+1\right)=2.\dfrac{5}{2}=5\)