1; Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB và OM là phân giác của góc AOB và MO là phân giác của góc AMB

ΔOAB cân tại O

mà OM là đường phân giác

nên OM⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

2: Xét tứ giác MAOB có \(\hat{MAO}+\hat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAOB là tứ giác nội tiếp

3: Xét (O) có

\(\hat{EBC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BE và dây cung BC

\(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(\hat{EBC}=\hat{EAB}\)

Xét ΔEBC và ΔEAB có

\(\hat{EBC}=\hat{EAB}\)

góc BEC chung

Do đó: ΔEBC~ΔEAB

4:

Xét ΔABM có

H,E lần lượt là trung điểm của BA,BM

=>HE là đường trung bình của ΔABM

=>HE//AM

ΔEBC~ΔEAB

=>\(\hat{ECB}=\hat{EBA}=\hat{MBA}\)

mà \(\hat{MBA}=\hat{MAB}=\hat{BHE}\)

nên \(\hat{BHE}=\hat{BCE}\)

=>BHCE là tứ giác nội tiếp

5: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA⊥BK

mà BA⊥OM

nên OM//BK

6: Xét (O) có

\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)

góc AMC chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MA}\)

=>\(MA^2=MC\cdot MD\) (1)

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MA^2=MH\cdot MO\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)

7: \(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)

=>\(\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}\)

Xét ΔMHC và ΔMDO có

\(\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}\)

góc HMC chung

Do đó: ΔMHC~ΔMDO

=>\(\hat{MHC}=\hat{MDO}\)

mà \(\hat{MHC}+\hat{OHC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{OHC}+\hat{ODC}=180^0\)

=>HODC là tứ giác nội tiếp

9: Xét (O) có

NC,ND là các tiếp tuyến

Do đó: NC=ND

=>N nằm trên đường trung trực của CD(4)

Ta có: IC=ID

=>I nằm trên đường trung trực của CD(3)

Ta có: OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD(5)

Từ (3),(4),(5) suy ra O,I,N thẳng hàng