Câu hỏi của Hattory Heiji - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

tvbobnokb' n

iai

  ni;bv nn0

Vì $abc\ne0$ nên từ $a+b+c=\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c$

suy ra $abc(a+b+c)=ab+bc+ca$.

Xét hiệu hai vế cần chứng minh:

$b(a^2-bc)(1-ac)-a(1-bc)(b^2-ac)$

$=-(a-b)\left[abc(a+b+c)-(ab+bc+ca)\right]$

$=-(a-b)\cdot0$

$=0$

Suy ra $\boxed{b(a^2-bc)(1-ac)=a(1-bc)(b^2-ac)}$

Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2$

$\Rightarrow 2(ab+bc+ca)=0$

$\Rightarrow ab+bc+ca=0$

Ta có $\dfrac1{a^3}+\dfrac1{b^3}+\dfrac1{c^3}
=\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^3b^3c^3}$

Mà $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3-3a^2b^2c^2$

$=(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c))$

$=0$

Do đó $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2$

Suy ra $\dfrac1{a^3}+\dfrac1{b^3}+\dfrac1{c^3}$

$=\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^3b^3c^3}$

$=\boxed{\dfrac3{abc}}$

1, C/m : a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2.căn (bc) + b^2.căn (ac) + c^2.căn (ab) 
Ta có : 2( a^3 + b^3 + c^3 ) = ( a^3 + b^3 + c^3 ) + ( a^3 + b^3 + c^3 ) 
≥ 3abc + a^3 + b^3 + c^3 ( BĐT Côsi ) 
= a^3 + abc + b^3 + abc + c^3 + abc ≥ 2.a^2.căn (bc) + 2.b^2.căn (ac) + 2.c^2.căn (ab) ( BĐT Côsi ) 
=> a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2.căn (bc) + b^2.căn (ac) + c^2.căn (ab) 
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c. 


2, C/m : (a^2 + b^2 + c^2)(1/(a + b ) + 1/(b + c) +1/(a + c) ) ≥ (3/2)(a + b + c) ( 1 ) 
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho phân số ( :D ) ta được : 
(a^2 + b^2 + c^2)(1/(a + b ) + 1/(b + c) +1/(a + c) ) ≥ (a^2 + b^2 + c^2).[(1+1+1)^2/(a+b+b+c+a+c)] = (a^2 + b^2 + c^2) . 9/[2.(a+b+c)] 
(1) <=> (a^2 + b^2 + c^2) . 9/[2.(a+b+c)] ≥ (3/2)(a + b + c) 
<=> 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2 
<=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca. 
BĐT cuối đúng nên => đpcm ! 
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c. 


3, C/m : a^4 + b^4 + c^4 ≥ (a + b + c)abc 
Ta có : 2( a^4 + b^4 + c^4 ) = (a^4 + b^4 +c^4) + (a^4 + b^4 +c^4) 
≥ ( a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 ) + (a^4 + b^4 +c^4) = ( a^4 + b^2.c^2 ) + ( b^4 + c^2.a^2 ) + ( c^4 + a^2.b^2 ) 
≥ 2.a^2.bc + 2.b^2.ca + 2.c^2.ab ( BĐT Côsi ) 
= 2.abc(a + b + c) 
Do đó a^4 + b^4 + c^4 ≥ (a + b + c)abc 
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c. 

\(ab+bc+ca=0\)

=>   \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)

=>  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

Đặt:  \(\frac{1}{a}=x;\)\(\frac{1}{b}=y;\)\(\frac{1}{c}=z\)

Ta có:   \(x+y+z=0\)

=>  \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)  (tự c/m, ko c/m đc ib)

hay  \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

\(B=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=abc.\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

     \(=abc.\frac{3}{abc}=3\)

thanks

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)

Ta có:

\(\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}=\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=3\)