a: Ta có: \(\frac{2x+\sqrt{x}-1}{1-x}+\frac{2x\cdot\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{1+x\cdot\sqrt{x}}\)

\(=\left(2x+\sqrt{x}-1\right)\left(\frac{1}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}+x\right)}\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)\cdot\frac{1-\sqrt{x}+x+\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)}{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}+x\right)}\)

\(=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)\cdot\frac{1-\sqrt{x}+x+\sqrt{x}-x}{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}+x\right)}\)

\(=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)\cdot\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}+x\right)}=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}+x\right)}\)

Ta có: \(M=1-\left(\frac{2x+\sqrt{x}-1}{1-x}+\frac{2x\cdot\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{1+x\cdot\sqrt{x}}\right)\cdot\frac{\left(x-\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}-1}\)

\(=1-\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left.\left(1-\sqrt{x}\right)\right.\left(1-\sqrt{x}+x\right)}\cdot\frac{\left(x-\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}-1}=1-\frac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}+x}\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}\)

b: Để M là số nguyên thì \(x-\sqrt{x}+1\inƯ\left(1\right)\)

=>\(x-\sqrt{x}+1\in\left\lbrace1;-1\right\rbrace\)

mà \(x-\sqrt{x}+1=\left(\sqrt{x}-\frac12\right)^2+\frac34>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
nên \(x-\sqrt{x}+1=1\)

=>\(x-\sqrt{x}=0\)

=>\(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

=>x=0(nhận) hoặc x=1(loại)

\(M\in Z\) thì \(3M\in Z\Rightarrow\frac{3\sqrt{x}-6}{3\sqrt{x}-4}\in Z\)

\(\Rightarrow\frac{3\sqrt{x}-4-2}{3\sqrt{x}-4}\in Z\Rightarrow3\sqrt{x}-4\inƯ\left(2\right)\)

\(\Rightarrow x\in\left\{1;4\right\}\)

Do đây là ta tìm điều kiện 3M thuộc Z chứ ko phải M thuộc Z nên đc nghiệm cần kiểm tra lại. Vì có thể 3M nguyên những M không nguyên.

Ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn.

Em nghĩ để lời giải chặt ché hơn thì ta phải chứng minh bổ đề sau:

Với \(a\)là số nguyên không âm và không là số chính phương thì \(\sqrt{a}\)là số vô tỉ. (Dễ chứng minh bằng phản chứng.)

a) ĐK : x ≥ 0 ; x ≠ 2 ; x ≠ 3

A= \(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-\frac{3\sqrt{x}-3}{x-5\sqrt{x}+6}\)

=\(\frac{x-4}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\text{​​}\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

=\(\frac{x-4-x+3\sqrt{x}-\sqrt{x}+3-3\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

=\(\frac{-\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

=\(\frac{-1}{\sqrt{x}-3}\)

Vậy...

b)Ta có A<-1

⇒\(\frac{-1}{\sqrt{x}-3}\) <-1

⇒\(\frac{-1}{\sqrt{x}-3}\) +1<0

⇒\(\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-3}\) <0

⇒\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-4< 0\\\sqrt{x}-3>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-4>0\\\sqrt{x}-3< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇒\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< 16\\x>9\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x>16\\x< 9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇒9< x <16

Vậy...

c) Ta có A = \(\frac{-1}{\sqrt{x}-3}\)

⇒2A=\(\frac{-2}{\sqrt{x}-3}\)

Để 2A ∈ Z thì \(\frac{-2}{\sqrt{x}-3}\) ∈ Z

⇒\(\sqrt{x}-3\) ∈ Ư_(-2) =\(\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

Ta có bảng

Vậy...

OK!!! đó bạn

mấy câu trả lời trước đâu rồi

Câu a:

​\(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2-3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{2x+2-3\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{x-1}\)

\(=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)}=2-\frac{3}{\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

A nguyên khi và chỉ khi \(3⋮\left(\sqrt{x}+1\right)\)

• TH1 : \(\left(\sqrt{x}+1\right)=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\)
• TH2 : \(\left(\sqrt{x}-1\right)=3\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)

Câu b : \(\frac{m\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)}=\sqrt{x}-2\Leftrightarrow2m\sqrt{x}-m-x+\sqrt{x}+2=0\)

\(\Leftrightarrow x-\left(2m+1\right)\sqrt{x}+m-2=0\)phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 

\(\Delta>0\)hay \(\Delta=\left(2m+1\right)^2-\left(m-2\right)4=m^2+9>0\forall m\)

Câu C: để \(A=2-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\ge2-\frac{3}{0+1}=-1\)\(\Rightarrow A_{Min}=-1\)khi \(x=0\)