từ x²+y=y²+x => (x-y)(x+y-1)=0

vì x khác y => x+y-1 = 0 <=> x+y = 1 <=> x²+y²= 1-2xy 

thay vào p ta có P= -1

\(x^2+y=y^2+x\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)-\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)-\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}}\)

Vì x,y là hai số khác nhau nên loại trường hợp x = y. Vậy x + y = 1 => y = 1 - x

thay vào A : \(A=\frac{x^2+\left(1-x\right)^2+x\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)-1}=\frac{x^2-x+1}{-x^2+x-1}=-1\)

Ta có: \((x + y)xy = x^2 + y^2 - xy \quad (1)\)

\(M = \frac{x^3 + y^3}{x^3 y^3} = \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{(xy)^3}\)

(1): \(\left(x+y\right)\cdot xy=x^2+y^2-xy\)

Do đó: \(M=\frac{xy\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(xy\right)^2}\)

Đặt \(t = \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)

=>\(M=t^2\)

(1): \((x + y)xy = x^2 + y^2 - xy\)

=>\((x+y)xy=(x+y)^2-3xy\)

=>\(\frac{x + y}{xy} = \left(\frac{x + y}{xy}\right)^2 - \frac{3}{xy}\)

=>\(t=t^2-\frac{3}{xy}\iff\frac{3}{xy}=t^2-t\iff xy=\frac{3}{t^2 - t}\)

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

=>\(\left(t\cdot xy\right)^2\ge4xy\)

=>\(t^2\cdot\left(xy\right)^2-4xy\ge0\)

=>xy\(\left(t\cdot xy-4\right)\) >=0

=>\(\frac{3}{t^2 - t} \left(t^2 \cdot \frac{3}{t^2 - t} - 4\right) \ge 0\)

=>\(\frac{3}{t^2 - t}\left(\frac{3t^2 - 4(t^2 - t)}{t^2 - t}\right)\ge0\)

=>\(\frac{3(4t - t^2)}{(t^2 - t)^2}\ge0\)

=>\(4t-t^2\ge0\)

=>\(t^2-4t\le0\)

=>t(t-4)<=0

=>0<t<=4

=>t∈(0;4]

\(M = t^2 \le 4^2 = 16\)

Dấu '=' xảy ra khi t=4

=>\(xy=\frac{3}{4^2 - 4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4};x+y=t\cdot xy=1\)

=>x,y là các nghiệm của phương trình:

\(A^2-A+\frac14=0\)

=>\(\left(A-\frac12\right)^2=0\)

=>A-1/2=0

=>A=1/2

=>x=y=1/2

1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).

2.

\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)

Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)

\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )

\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)

\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)

3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)