ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)

E là trung điểm của AC

=>\(AE=EC=\frac{AC}{2}=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABE vuông tại A

=>\(AB^2+AE^2=BE^2\)

=>\(BE^2=4^2+6^2=16+36=52\)

=>\(BE=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

F là trung điểm của AB

=>\(FA=FB=\frac{AB}{2}=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔCAF vuông tại A

=>\(AC^2+AF^2=FC^2\)

=>\(FC^2=3^2+8^2=9+64=73\)

=>\(FC=\sqrt{73}\) (cm)

5cm

D

A B C H M

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

\(AB^2=AH^2+BH^2\)\(=3^2+4^2=25\)

\(\Rightarrow AB=5\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức lượng ta có:

\(AH^2=AB\cdot AC\Rightarrow AC=\dfrac{AH^2}{AB}=\dfrac{3^2}{5}=1,8\left(cm\right)\)

Do đó:\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+1,8^2}\simeq5,3\left(cm\right)\)

AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông ABC

=> AM=\(\dfrac{1}{2}\) BC= 2,65 \(\left(cm\right)\)

Xét t.giác ABH vg tại H có:
AB²= BH² + AH² (đlí Pytago)

TS: 225= 144+ AH²

=> AH= 9(cm)

Đặt HM= x
ta có : AM²= (x+9)²

AM² = BM²= 12² +x²

=> (x+9)²= 12² + x²
= x² + 18x+81= 144+x²

= x² +18x+81-144+x²=0

18x+81= 144

18x= 163

=>x=3,5

=> HM= 3,5(cm)

ta có AM= AH+HM

t/s: AM= 9+3,5

AM= 12,5

ta có BC= 2AM(t/c)

=> BC= 25

A B C H M

Xét \(\Delta ABC\&\Delta ABH\) ta có:

\(\widehat{A}=\widehat{B}=90^o\left(gt\right)\\ \widehat{B}=\widehat{B}\\\Rightarrow \Delta ABC\&\sim ABH\)

Xét ∆AHB và ∆CBA có:

∠AHB = ∠CAB = 90⁰

∠B chung

⇒ ∆AHB ∽ ∆CBA (g-g)