a: Xét \(\left(O_1\right)\) có

ΔAPH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAPH vuông tại P

=>HP⊥AM tại P

Xét \(\left(O_2\right)\) có

ΔHQB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHQB vuông tại Q

=>HQ⊥MB tại Q

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)

nên MPHQ là hình chữ nhật

b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao

nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)

Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao

nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)

=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)

Xét ΔMPQ vuông tại M và ΔMBA vuông tại M có

\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)

Do đó: ΔMPQ~ΔMBA

c: ΔMPQ~ΔMBA

=>\(\hat{MPQ}=\hat{MBA};\hat{MQP}=\hat{MAB}\)

\(\hat{O_1PQ}=\hat{O_1PH}+\hat{HPQ}=\hat{AHP}+\hat{HPQ}\)

\(=\hat{AHP}+\hat{HMB}=\hat{MBA}+\hat{HMB}=90^0\)

=>\(PO_1\) ⊥PQ

=>PQ là tiếp tuyến tại P của \(\left(O_1\right)\)

\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{O_2QH}\)

\(=\hat{PMH}+\hat{BHQ}=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)

=>\(QO_2\) ⊥QP tại Q

=>QP là tiếp tuyến tại Q của \(\left(O_2\right)\)

a, Tam giác AMB là tam giác gì? Vì sao?

b, CM: MA²=MB.MC

c, CM: MB.MC=AH.AB

1: Xét (M;MH) có

MH là bán kính

AB⊥MH tại H

Do đó: AB là tiếp tuyến tại H của (M)

2: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔMAB vuông tại M

=>MA⊥MB tại M và \(\hat{AMB}=90^0\)

Xét (M) có

AC,AH là các tiếp tuyến

Do đó: AC=AH và MA là phân giác của góc CMH

MA là phân giác của góc CMH

=>\(\hat{CMH}=2\cdot\hat{AMH}\)

Xét (M) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: BH=BD và MB là phân giác của góc DMH

MB là phân giác của góc DMH

=>\(\hat{DMH}=2\cdot\hat{HMB}\)

Ta có: \(\hat{CMH}+\hat{DMH}=\hat{CMD}\)

=>\(\hat{CMD}=2\left(\hat{AMH}+\hat{BMH}\right)=2\cdot\hat{AMB}=2\cdot90^0=180^0\)

=>C,M,D thẳng hàng

=>M là trung điểm của CD

Xét hình thang CABD có

M,O lần lượt là trung điểm của CD,AB

=>MO là đường trung bình của hình thang CABD

=>MO//AC//BD

=>MO⊥CD tại M

Xét (O) có

OM là bán kính

CD⊥OM tại M

Do đó: CD là tiếp tuyến tại M của (O)

a) Xét (O) có 

ΔCAB nội tiếp đường tròn(C,A,B∈(O))

AB là đường kính(gt)

Do đó: ΔCAB vuông tại C(Định lí)

⇔\(\widehat{ACB}=90^0\)

hay \(\widehat{KCB}=90^0\)

Xét tứ giác BHKC có

\(\widehat{BHK}\) và \(\widehat{KCB}\) là hai góc đối

\(\widehat{BHK}+\widehat{KCB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: BHKC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = AH và BD = BH

Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH

Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi