a: \(=\dfrac{x+2y}{xy}\cdot\dfrac{2x^2}{\left(x+2y\right)^2}=\dfrac{2x}{y\left(x+2y\right)}\)

b: \(=\dfrac{x\left(4x^2-y^2\right)}{x^2+xy+y^2}\cdot\dfrac{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{\left(2x-y\right)^3}\)

\(=\dfrac{x\left(x-y\right)\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)}{\left(2x-y\right)^3}\)

\(=\dfrac{x\left(x-y\right)\left(2x+y\right)}{\left(2x-y\right)^2}\)

c: \(=\dfrac{x+3}{x+2}\cdot\dfrac{2x-1}{3\left(x+3\right)}\cdot\dfrac{2\left(x+2\right)}{2\left(2x-1\right)}\)

=1/3

d: \(=\dfrac{x+1}{x+2}:\left(\dfrac{1}{2x}\cdot\dfrac{3x+3}{2x-3}\right)\)

\(=\dfrac{x+1}{x+2}\cdot\dfrac{2x\left(2x-3\right)}{3\left(x+1\right)}=\dfrac{2x\left(2x-3\right)}{3\left(x+2\right)}\)

Xí câu BĐT:

ta cần chứng minh \(\dfrac{a^2}{b^2c}+\dfrac{b^2}{c^2a}+\dfrac{c^2}{a^2b}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)

Áp dụng BĐT cauchy:

\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)

tương tự ta có:\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)

cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế ta có:

\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2a^2+2b^2+2c^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)

mà a²+b²+c²\(\ge ab+bc+ca\) ( chứng minh đầy đủ nhá)

do đó \(S=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-ab+bc+ca=ab+bc+ca\)

suy ra BĐT ban đầu đúng

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

P/s: cách khác :Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)

\(S\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)

Câu hệ này =))
b, Từ hệ đã cho ta thấy x,y > 0
Trừ vế cho vế pt (1) và (2) của hệ ta được:
\(x^4-y^4=4y-4x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=4\left(y-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\) ( Vì \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4>0\) với x,y > 0)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Với x = y thay vào pt đầu của hệ ta được:
\(x^4-4x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\) ( Vì \(x^2+2x+3>0\) )
\(\Leftrightarrow x=1\)
Với x=1 suy ra y=1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)

Ta chứng minh BĐT sau:

Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)

\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)

Tương tự và cộng lại:

\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-y^3=16x-4y\\-4=5x^2-y^2\end{matrix}\right.\)

Nhân vế:

\(-4\left(x^3-y^3\right)=\left(16x-4y\right)\left(5x^2-y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow21x^3-5x^2y-4xy^2=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(7x-4y\right)\left(3x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{4y}{7}\\y=-3x\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(y^2=5x^2+4...\)

b. Đề bài không hợp lý ở \(4x^2\)

c.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3-y^3=9\\3x^2+6y^2=3x-12y\end{matrix}\right.\)

Trừ vế:

\(x^3-y^3-3x^2-6y^2=9-3x+12y\)

\(\Leftrightarrow x^3-3x^2+3x-1=y^3+6y^2+12y+8\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3=\left(y+2\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x-1=y+2\)

\(\Leftrightarrow y=x-3\)

Thế vào \(x^2=2y^2=x-4y\) ...

a: \(\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac23\\ x+y-10=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac23y\\ \frac23y+y=10\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}\frac53y=10\\ x=\frac23y\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=10:\frac53=6\\ x=\frac23\cdot6=4\end{cases}\)

b: \(\begin{cases}\left(3x+2\right)\left(2y-3\right)=6xy\\ \left(4x+5\right)\left(y-5\right)=4xy\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}6xy-9x+4y-6=6xy\\ 4xy-20x+5y-25=4xy\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}-9x+4y=6\\ -20x+5y=25\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-9x+4y=6\\ 4x-y=-5\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}-9x+4y=6\\ 16x-4y=-20\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-9x+4y+16x-4y=6-20\\ 4x-y=-5\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}7x=-14\\ y=4x+5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-2\\ y=4\cdot\left(-2\right)+5=-8+5=-3\end{cases}\)

c: \(\begin{cases}\left(2x-3\right)\left(2y+4\right)=4x\left(y-3\right)+54\\ \left(x+1\right)\left(3y-3\right)=3y\left(x+1\right)-12\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}4xy+8x-6y-12=4xy-12x+54\\ 3xy-3x+3y-3=3xy+3y-12\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}20x-6y=66\\ -3x=-9\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=3\\ 6y=20x-66=20\cdot3-66=60-66=-6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=3\\ y=-2\end{cases}\)

d: \(\begin{cases}\frac{2y-5x}{3}+5=\frac{y+27}{4}-2x\\ \frac{x+1}{3}+y=\frac{6y-5x}{7}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{2y-5x+15}{3}=\frac{y+27-8x}{4}\\ \frac{x+1+3y}{3}=\frac{6y-5x}{7}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}4\left(-5x+2y+15\right)=3\left(-8x+y+27\right)\\ 7\left(x+3y+1\right)=3\left(-5x+6y\right)\end{cases}\)

=>-20x+8y+60=-24x+3y+81 và 7x+21y+7=-15x+18y

=>4x+5y=21 và 22x+3y=-7

=>44x+55y=231 và 44x+6y=-14

=>44x+55y-44x-6y=231+14 và 4x+5y=21

=>49y=245 và 4x=21-5y

=>y=5 và 4x=21-5*5=21-25=-4

=>y=5 và x=-1

https://olm.vn/thanhvien/chibiverycute là con chó