\(x^2-2mx-3=0\left(1\right)\)

\(a=1;b=-2m;c=-3\)

Ta có a và c trái dấu nên ac<0 \(\Rightarrow\Delta>0\)

Do đó phuong trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo định lí Viete cho phương trình (1) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-2m\right)}{1}=2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{1}=-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(x_1-2x_2\right)^2+x_2-2mx_1=20\)

\(\Rightarrow x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2+x_2-2mx_1=20\)

\(\Rightarrow x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2+x_2-\left(x_1+x_2\right)x_1=20\)

\(\Rightarrow-5x_1x_2+4x_2^2+x_2=20\)

\(\Rightarrow-5.\left(-3\right)+4x_2^2+x_2=20\)

\(\Leftrightarrow4x_2^2+x_2-5=0\)

Giải phương trình trên ta được: \(\left[{}\begin{matrix}x_2=1\\x_2=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

Với x₂=1 là nghiệm của phương trình (1). Ta có:

\(1^2-2m.1-3=0\Rightarrow m=-1\)

Với x₂=-5/4 là nghiệm của phương trình (1). Ta có:

\(\left(-\dfrac{5}{4}\right)^2-2m.\left(-\dfrac{5}{4}\right)-3=0\Rightarrow m=\dfrac{23}{40}\)

Vậy m=-1 hay m=23/40

pt và ng là j vậy bn

a: \(\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-2\right)=25-4m+8=-4m+33\)

Để phương trình có nghiệm thì -4m+33>=0

=>-4m>=-33

hay m<=33/4

Theo đề, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1-2x_2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{5}{3}\\x_1=\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=m-2\)

=>m-2=50/9

hay m=68/9

b: Theo đề, ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)

\(\Leftrightarrow5^2-2\left(m-2\right)=6\)

=>25-2(m-2)=6

=>2(m-2)=19

=>m-2=19/2

hay m=23/2

d: \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=14\)

\(\Leftrightarrow25-4\left(m-2\right)=196\)

=>4(m-2)=-171

=>m-1=-171/4

hay m=-163/4

Xét \(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4.\left(-3\right)=4\left(m-1\right)^2+12>0\forall m\)

=>Pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=-3\ne0\forall m\end{matrix}\right.\)

Có \(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\)

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3=\left(m-1\right)x_1^2.x_2^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=\left(m-1\right).\left(-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3-3\left(-3\right).2\left(m-1\right)=9\left(m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3+9\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[8\left(m-1\right)^2+9\right]=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)(do \(8\left(m-1\right)^2+9>0\) với mọi m)

Vậy m=1

Vì \(ac< 0\) \(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Mặt khác: \(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\) \(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2-x_1x_2\right)}{x_1^2x_2^2}=m-1\)

  \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]}{x_1^2x_2^2}=m-1\)

  \(\Rightarrow\dfrac{\left(2m-2\right)\left(4m^2-8m+13\right)}{9}=m-1\)

  \(\Leftrightarrow...\)  

a: TH1: m=-1

Phương trình sẽ trở thành:

\(\left(-1+1\right)x^2-2\left(-1-1\right)x+\left(-1\right)-2=0\)

=>4x-3=0

=>4x=3

=>x=3/4

=>Loại

TH2: m<>-1

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\left(m+1\right)\left(m-2\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(m^2-m-2\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1-m^2+m+2\right)=4\left(-m+3\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>4(-m+3)>0

=>-m+3>0

=>-m>-3

=>m<3

=>m<3 và m<>-1

b: Thay x=2 vào phương trình, ta được:

\(\left(m+1\right)\cdot2^2-2\left(m-1\right)\cdot2+m-2=0\)

=>4m+4-4(m-1)+m-2=0

=>5m+2-4m+4=0

=>m+6=0

=>m=-6

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m+1};x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-2}{m+1}\)

=>\(x_2+2=\frac{2\left(-6-1\right)}{-6+1}=\frac{2\cdot\left(-7\right)}{-5}=2\cdot\frac75=\frac{14}{5}\)

=>\(x_2=\frac{14}{5}-2=\frac45\)

c: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac74\)

=>\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac74\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}:\frac{m-2}{m+1}=\frac74\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m-2}=\frac74\)

=>8(m-1)=7(m-2)

=>8m-8=7m-14

=>8m-7m=-14+8

=>m=-6

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1\)

=>\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=1\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}:\frac{m-2}{m+1}=1\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m-2}=1\)

=>2m-2=m-2

=>m=0

\(x_1^2+x_2^2=2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2\)

=>\(\frac{4\left(m-1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}-2\cdot\frac{m-2}{m+1}=2\)

=>\(4\left(m-1\right)^2-2\left(m-2\right)\left(m+1\right)=2\left(m+1\right)^2\)

=>\(2\left(m-1\right)^2-\left(m-2\right)\left(m+1\right)=\left(m+1\right)^2\)

=>\(2\left(m^2-2m+1\right)-\left(m^2-m-2\right)=m^2+2m+1\)

=>\(2m^2-4m+2-m^2+m+2=m^2+2m+1\)

=>-3m+4=2m+1

=>-5m=-3

=>m=3/5

d: \(3\left(x_1+x_2\right)=5x_1x_2\)

=>\(3\cdot\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}=5\cdot\frac{\left(m-2\right)}{m+1}\)

=>6(m-1)=5(m-2)

=>6m-6=5m-10

=>m=-4

a: a*c=-m^2-3<=-3<0 với mọi m

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=3\)

=>\(\dfrac{x_2+x_1}{x_2x_1}=3\)

=>\(\dfrac{-2}{-m^2-3}=3\)

=>\(\dfrac{2}{m^2+3}=3\)

=>m^2+3=2/3

=>m^2=2/3-3=-7/3(vô lý)

Có\(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)=4m^2+16>0\forall m\)

=> pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Có :\(P^2=\left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right)^2=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)}=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4m^2+16}\)\(\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge0\)

Dấu = xảy ra khi m=-1