a. để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì △ > 0

\(\text{△}=b^2-4ac=\left[-2\cdot\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(4m+1\right)\\ \text{△}=4\cdot\left(m-1\right)^2-4\cdot\left(4m+1\right)\\ \text{△}=4\cdot\left[\left(m-1\right)^2-\left(4m+1\right)\right]\\ \text{△}=4\cdot\left[m^2-2m+1-4m-1\right]\\ \text{△}=4\cdot\left[m^2-m\right]=4m\cdot\left(m-6\right)\)

vậy m > 6 hoặc m < 0

b. áp dụng định lý vi-et ta có:

\(x_1+x_2=-b< =>2\left(m-1\right)\\ x_1x_2=c< =>4m+1\)

theo đề: \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)

\(=>\left[2\left(m-1\right)\right]^2-2\left(4m+1\right)=5\\ 4\left(m-1\right)^2-2\left(4m+1\right)=5\\ 4\left(m^2-2m+1\right)-8m-2=5\\ 4m^2-8m+4-8m-2=5\\ 4m^2-16m-3=0\\ =>\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{4+\sqrt{19}}{2}\left(KTM\right)\\m=\dfrac{4-\sqrt{19}}{2}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

vậy m cần tìm là: \(\dfrac{4-\sqrt{19}}{2}\)

TH1: m=-1

Phương trình sẽ trở thành:

\(\left(-1+1\right)x^2-2\left(-1-1\right)x+\left(-1\right)^2+4\cdot\left(-1\right)-5=0\)

=>4x+1-4-5=0

=>4x-8=0

=>x=2

=>Loại

TH2: m<>-1

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot\left(m+1\right)\left(m^2+4m-5\right)\)

\(=4\left(m-1\right)^2-4\left(m+1\right)\left(m+5\right)\left(m-1\right)\)

=4(m-1)[m-1-(m+1)(m+5)]

=4(m-1)[m-1-m^2-6m-5]

=4(m-1)(-m^2-5m-6)

=-4(m-1)(m+2)(m+3)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-4(m-1)(m+2)(m+3)>0

=>(m-1)(m+2)(m+3)<0

=>m<-3 hoặc -2<m<1

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m+1};x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m^2+4m-5}{m+1}=\frac{\left(m+5\right)\left(m-1\right)}{m+1}\)

\(f\left(2\right)=\left(m+1\right)\cdot2^2-2\left(m-1\right)\cdot2+m^2+4m-5\)

\(=4m+4-4m+4+m^2+4m-5=m^2+4m+3\)

=(m+1)(m+3)

Để hai nghiệm đều lớn hơn 2, ta áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai là:

\(\begin{cases}a\cdot f\left(2\right)>0\\ \frac{S}{2}>2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(m+1\right)\left(m+3\right)\cdot\left(m+1\right)>0\\ S>4\end{cases}\)

=>m+3>0 và 2(m-1)/m+1>4

=>m>-3 và \(\frac{m-1}{m+1}>2\)

=>m>-3 và \(\frac{m-1-2m-2}{m+1}\) >0

=>m>-3 và \(\frac{-m-3}{m+1}\) >0

=>m>-3 và \(\frac{m+3}{m+1}\) <0

=>m>-3 và -3<m<-1

=>-3<m<-1

mà m<-3 hoặc -2<m<1

nên -2<m<-1

a) Xét pt \(x^2-\left(2m-3\right)x+m^2-3m=0\)

Ta có \(\Delta=\left[-\left(2m-3\right)^2\right]-4.1\left(m^2-3m\right)\)\(=4m^2-12m+9-4m^2+12m\)\(=9>0\)

Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Câu b mình nhìn không rõ đề, bạn sửa lại nhé.

Thảo luận 1

đầu tiên cho denta > 0 để có 2 nghiệm đã ta thấy denta'=m^2+(m-1)^2 luôn luôn duơng nên có 2 no theo Viet ta có S= x1+x2=-b/a=2(m+1) P=x1.x2=c/a=4m-m^2 Theo GT A=/x1-x2/ min tuơng đuơng A^2=(x1-x2)^2 min=(x1+x2)^2-4x1.x2 ráp tổng tích vào, làm gọn ta có A^2= 2(m-1)^2+4m^2 mà 4m^2>=0, mim khi m=0, A^2=2 2(m-1)^2>=0, min khi m=1, A^2=4 Chọn A^2min=2, suy ra Amin= căn 2

Thảo luận 2

A=/x1-x2/ => A^2 = /x1-x2/^2 = (x1-x2)^2 => Amin khi (x1-x2)^2 min = (x1+x2)^2 - 4x1x2 min Ta co: x1 + x2 = 2(m+1) ; x1x2 = 4m-m^2. Thay vao: 4(2m^2 -2m+1) = 8 (m-1/2)^2 + 2 >= 2. A^2 >= 2 A = 0) hay A >= can2. Vậy Amin = can 2

\(a=1;b=-2\left(2m+1\right);c=4m^2+4m;b'=\dfrac{b}{2}=-\left(2m+1\right)\)

\(\Delta'=b'^2-ac=\left[-\left(2m+1\right)\right]^2-1.\left(4m^2+4m\right)\\ =4m^2+4m+1-4m^2-4m\\ =1>0\)

\(\Leftrightarrow\Delta'>0\) mà \(a=1\ne0\left(luônđúng\right)\)

=> pt luôn có 2 no pb x1;x2

ad đl viet có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(2m+1\right)=4m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=4m^2+4m\end{matrix}\right.\)

ta có: \(\left|x_1-x_2\right|=x_1+x_2\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2\\ \Leftrightarrow\left(4m+2\right)^2-4\left(4m^2+4m\right)=\left(4m+2\right)^2\\ \Leftrightarrow-4\left(4m^2+4m\right)=0\\ \Leftrightarrow4m\left(m+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(tm\right)\\m=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

a: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì \(\left(m^2-m-6\right)\cdot1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)\left(m+2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-2< m< 3\)

a: Để phương trình có hai nghiệm chung thì phải có một giá trị x thỏa mãn \(\begin{cases}x^2-8x+4m=0\\ x^2+x-4m=0\end{cases}\)

=>\(x^2-8x+4m+x^2+x-4m=0\)

=>\(2x^2-7x=0\)

=>x(2x-7)=0

=>x=0 hoặc x=7/2

Khi x=0 thì ta có: \(0^2+0-4m=0\) và \(0^2-8\cdot0+4m=0\)

=>4m=0 và 4m=0

=>m=0

Khi x=7/2 thì ta có: \(\left(\frac72\right)^2-8\cdot\frac72+4m=0;\left(\frac72\right)^2+\frac72-4m=0\)

=>\(\frac{49}{4}-28+4m=0;\frac{49}{4}+\frac72-4m=0\)

=>\(4m=-\frac{49}{4}+28=\frac{-49+112}{4}=\frac{63}{4};4m=\frac{49}{4}+\frac72=\frac{63}{4}\)

=>\(m=\frac{63}{16}\)

pt sai 

Để pt có 2 nghiệm pb khác 0:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4\left(m-1\right)^2-3\left(m^2-4m+1\right)>0\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+4m+1>0\\m^2-4m+1\ne0\end{matrix}\right.\) (1)

Theo hệ thức Viet:  \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1+x_2=0\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}=0\\\dfrac{m^2-4m+1}{3}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\\m=5\end{matrix}\right.\) 

Thế vào hệ điều kiện (1) kiểm tra chỉ có \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=5\end{matrix}\right.\) thỏa mãn

d: Ta có: \(\text{Δ}=\left(m+1\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m+3\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m-24\)

\(=m^2-6m-23\)

\(=m^2-6m+9-32\)

\(=\left(m-3\right)^2-32\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left(m-3\right)^2>32\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-3>4\sqrt{2}\\m-3< -4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4\sqrt{2}+3\\m< -4\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1=\dfrac{m+3}{2}\\x_2=x_1-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+3}{4}\\x_2=\dfrac{m+3}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{m-1}{4}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m+3\right)\left(m-1\right)}{16}=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-1\right)=8\left(m+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=9\end{matrix}\right.\)