(3 điểm)
Cho nửa đường tròn $(O ; R)$ đường kính $A B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A B$ chứa nửa đường tròn $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $A x, B y$ của nửa đường tròn. Từ điểm $M$ thuộc nửa đường tròn $(O)$ vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt $A x,\, B y$ lần lượt tại $P$ và $Q$.
a) Chứng minh bốn điểm $A, P, M, O$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) $A M$ cắt $O P$ tại điểm $I, B M$ cắt $O Q$...
Đọc tiếp
(3 điểm)
Cho nửa đường tròn $(O ; R)$ đường kính $A B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A B$ chứa nửa đường tròn $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $A x, B y$ của nửa đường tròn. Từ điểm $M$ thuộc nửa đường tròn $(O)$ vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt $A x,\, B y$ lần lượt tại $P$ và $Q$.
a) Chứng minh bốn điểm $A, P, M, O$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) $A M$ cắt $O P$ tại điểm $I, B M$ cắt $O Q$ tại điểm $K$. Chứng minh $M I O K$ là hình chữ nhật và tính tích $A P . B Q$ theo $R$.
c) Gọi $\mathrm{N}$ là giao điểm của $B P$ và $I K$. Chứng minh rằng khi $M$ di chuyển trên nửa đường tròn $(M$ khác $A$ và $B$ ) thì tỉ số $\dfrac{S_{\triangle A B N}}{S_{\triangle A B M}}$ luôn không đổi.
a: Xét tứ giác PAOM có \(\hat{PAO}+\hat{PMO}=90^0+90^0=180^0\)
nên PAOM là tứ giác nội tiếp
=>P,A,O,M cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
PA,PM là các tiếp tuyến
DO đó: PA=PM
=>P nằm trên đường trung trực của AM(1)
Ta có: OA=OM
=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)
Từ (1),(2) suy ra PO là đường trung trực của AM
=>PO⊥AM tại I và I là trung điểm của AM
Xét (O) có
QM,QB là các tiếp tuyến
Do đó: QM=QB
=>Q nằm trên đường trung trực của MB(3)
ta có; OM=OB
=>O nằm trên đường trung trực của MB(4)
Từ (3),(4) suy ra OQ là đường trung trực của BM
=>OQ⊥BM tại K và K là trung điểm của BM
Xét (O) có
ΔMAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMAB vuông tại M
Xét tứ giác MIOK có \(\hat{MIO}=\hat{MKO}=\hat{KMI}=90^0\)
nên MIOK là hình chữ nhật
=>\(\hat{IOK}=90^0\)
=>\(\hat{POQ}=90^0\)
Xét ΔOPQ vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MP\cdot MQ=OM^2\)
=>\(AP\cdot QB=OM^2=R^2\) không đổi