\(A=m^2-2m-5\)

\(=m^2-2m+1-6\)

\(=\left(m-1\right)^2-6\ge-6\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(\left(m-1\right)^2=0\Leftrightarrow m=1\)

Vậy \(Min_A=-6\) khi \(m=1\)

\(A=m^2-2m-5\)

\(=\left(m^2-2m+1\right)-6\)

\(=\left(m-1\right)^2-6\ge-6\left(Vì\left(m-1\right)^2\ge0\forall m\right)\)

Min \(A=-6\Leftrightarrow m=1\)

`A=m^2-2m-5`

`A=m^2-2m+1-6`

`A=(m-1)^2-6`

 Vì `(m-1)^2 >= 0 AA m`

`=>(m-1)^2-6 >= -6 AA m`

 Hay `A >= -6 AA m`

Dấu "`=`" xảy ra `<=>(m-1)^2=0<=>m-1=0<=>m=1`

Vậy `GTN N` của `A` là `-6` khi `m=1`

\(\Delta=4m^2-4m+1-4\left(2m-2\right)=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\ge0\)

Do đó pt luôn có nghiệm

Theo định lí Vi-ét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(A=\left(2m-1\right)^2-2\left(2m-2\right)\)           

\(A=4m^2-4m+1-4m+4\)

\(A=4m^2-8m+5\)

\(A=4\left(m-1\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) m=1

Tick hộ nha 😘

pt có nghiệm \(< =>\Delta\ge0\)

\(< =>[-\left(2m-1\right)]^2-4\left(2m-2\right)\ge0\)

\(< =>4m^2-4m+1-8m+8\ge0\)

\(< =>4m^2-12m+9\ge0\)

\(< =>4\left(m^2-3m+\dfrac{9}{4}\right)\ge0\)

\(=>m^2-2.\dfrac{3}{2}m+\dfrac{9}{4}\ge0< =>\left(m-\dfrac{2}{3}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

=>pt luôn có 2 nghiệm 

theo vi ét \(=>\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m-1\\x1x2=2m-2\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(x1+x2\right)^2-2x1x2=\left(2m-1\right)^2-2\left(2m-2\right)\)

\(A=4m^2-4m+1-4m+4=4m^2+5\ge5\)

dấu"=" xảy ra<=>m=0

\(A=\frac{2m+1}{m^2+2}\Leftrightarrow A\left(m^2+2\right)=2m+1\Leftrightarrow Am^2-2m+2A-1=0\)

Ta coi đây là phương trình ẩn \(m\)với \(A\)là tham số. 

- Với \(A=0\): \(-2m-1=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\).

- Với \(A\ne0\): phương trình có nghiệm khi: 

\(\Delta'=1-A\left(2A-1\right)=-2A^2+A+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-1}{2}\le A\le1\).

Kết hợp cả hai trường hợp ta có \(minA=-\frac{1}{2},maxA=1\).

Đáp án đúng : C

Dấu “=” xảy ra  ⇔ m + 1 4 − m ≥ 0

⇔ − 1 ≤ m ≤ 4

Vậy GTNN của A là 5 khi  − 1 ≤ m ≤ 4

\(\Delta=\left\lbrack-\left(2m+1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(-m^2-2\right)\)

\(=4m^2+4m+1+4m^2+8=8m^2+4m+9\)

\(=8\left(m^2+\frac12m+\frac98\right)\)

\(=8\left(m^2+\frac12m+\frac{1}{16}+\frac98-\frac{1}{16}\right)\)

\(=8\left(m+\frac14\right)^2+8\cdot9-8\cdot\frac{1}{16}=8\left(m+\frac14\right)^2+72-\frac12=8\left(m+\frac14\right)^2+71,5\ge71,5>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m+1\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-m^2-2\end{cases}\)

\(A=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)

\(=\frac{2m+1}{-m^2-2}=-\frac{2m+1}{m^2+2}\)

Đặt A=k

=>\(-2m-1=k\left(m^2+2\right)\)

=>\(\operatorname{km}^2+2k+2m+1=0\)

=>\(\operatorname{km}^2+2m+2k+1=0\) (1)

\(\Delta=2^2-4k\left(2k+1\right)=4-8k^2-4k=-4\left(2k^2+k-1\right)\)

=-4(k+1)(2k-1)

Để (1) có nghiệm thì Δ>=0

=>-4(k+1)(2k-1)>=0

=>(k+1)(2k-1)<=0

=>\(-1\le k\le\frac12\)

=>\(-1\le A\le\frac12\)

=>\(A_{\min}=-1\) và \(A_{max}=\frac12\)

\(A_{\min}=-1\)

=>\(-\frac{2m+1}{m^2+2}=-1\)

=>\(m^2+2=2m+1\)

=>\(m^2-2m+1=0\)

=>\(\left(m-1\right)^2=0\)

=>m-1=0

=>m=1

\(A_{\max}=\frac12\)

=>\(\frac{-2m-1}{m^2+2}=\frac12\)

=>\(m^2+2=2\left(-2m-1\right)=-4m-2\)

=>\(m^2+4m+4=0\)

=>\(\left(m+2\right)^2=0\)

=>m+2=0

=>m=-2

\(B=2\left(m^2-m+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{9}{2}=2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{2}\ge\dfrac{9}{2}\)

\(minB=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m-10=m^2-9\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le-3\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m+10\end{matrix}\right.\)

a.

\(P=x_1^2+x_2^2+6x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2\)

\(P=4\left(m+1\right)^2+4\left(2m+10\right)\)

\(P=4m^2+16m+44=\left(4m^2+16m+12\right)+32\)

\(P=4\left(m+1\right)\left(m+3\right)+32\ge32\)

\(P_{min}=32\) khi \(m=-3\)

b.

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m+10\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(x_1+x_2-x_1x_2=-8\)

Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m