a: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥CD tại I

Ta có: \(\hat{MIO}=\hat{MAO}=90^0\)

=>O,I,A,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM

=>MAOI là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)

\(\hat{AMC}\) chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot MC\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: OM là phân giác của góc AOB

ΔOAB cân tại O

mà OM là đường phân giác

nên OM⊥AB tại H

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\)

=>\(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)

=>\(\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}\)

Xét ΔMHC và ΔMDO có

\(\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}\)

góc HMC chung

Do đó: ΔMHC~ΔMDO

=>\(\hat{MHC}=\hat{MDO}\)

mà \(\hat{MHC}+\hat{OHC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{OHC}+\hat{ODC}=180^0\)

=>OHCD là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔMAC và ΔMDA có

góc MAC=góc MDA

góc AMC chung

=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA

=>MA^2=MC*MD=MH*MO

=>MC/MO=MH/MD

=>ΔMCH đồng dạng với ΔMOD

=>góc MCH=góc MOD

=>góc HOD+góc HCD=180 độ

=>HODC nội tiếp

b) Do AOBC là hình thoi nên AB ⊥ CO

Lại có MA và MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên AB ⊥ MO

⇒ M,C,O thẳng hàng.

Điểm D ở đâu vậy bạn?

Sửa đề: Gọi K là giao điểm của OI và AB. Chứng minh KD là tiếp tuyến của (O)

Gọi H là giao điểm của AB và OM

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥CD tại I

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OH\cdot OM=R^2\left(3\right)\)

Xét ΔOIM vuông tại I và ΔOHK vuông tại H có

\(\hat{IOM}\) chung

Do đó: ΔOIM~ΔOHK

=>\(\frac{OI}{OH}=\frac{OM}{OK}\)

=>\(OI\cdot OK=OH\cdot OM\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(OI\cdot OK=R^2\)

=>\(OI\cdot OK=OD^2\)

=>\(\frac{OI}{OD}=\frac{OD}{OK}\)

Xét ΔOID và ΔODK có

\(\frac{OI}{OD}=\frac{OD}{OK}\)

góc IOD chung

Do đó: ΔOID~ΔODK

=>\(\hat{OID}=\hat{ODK}\)

=>\(\hat{ODK}=90^0\)

=>KD là tiếp tuyến của (O)

a: ΔOAB cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAM và ΔOBM có

OA=OB

\(\hat{AOM}=\hat{BOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOBM

=>\(\hat{OAM}=\hat{OBM}\)

=>\(\hat{OBM}=90^0\)

=>MB là tiếp tuyến tại B của (O)

b: Xét (O) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó ΔBED vuông tại E

=>BE⊥DM tại E

Xét ΔDBM vuông tại B có BE là đường cao

nên \(MB^2=ME\cdot MD\)

a) Ta có:

Xét tứ giác AOBC có:

AO // BC

AC // BO

⇒ Tứ giác AOBC là hình bình hành

Mà OA = OC = R

⇒ Tứ giác AOBC là hình thoi

a: Xét tứ giác MAOB có \(\hat{MAO}+\hat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAOB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO

Tâm là trung điểm của MO

b: Xét (O) có

\(\hat{MAE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung AE

\(\hat{AFE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE

Do đó: \(\hat{MAE}=\hat{AFE}\)

Xét ΔMAE và ΔMFA có

\(\hat{MAE}=\hat{MFA}\)

góc AME chung

Do đó: ΔMAE~ΔMFA
=>\(\frac{MA}{MF}=\frac{ME}{MA}\)

=>\(MA^2=ME\cdot MF\left(1\right)\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB và OM là phân giác của góc AOB

ΔOAB cân tại O

mà OM là đường phân giác

nên OM⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(MH\cdot MO=ME\cdot MF\)