\(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x+1\le x^2+2x+1\\2y^2+y+1\le y^2+2y+1\\2z^2+z+1\le z^2+2z+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}=x+y+z+3=4\)

\(P_{max}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị

\(P=\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{9}{2x}\right)+\left(\dfrac{y}{8}+\dfrac{2}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{4}+\dfrac{9}{z}\right)+\dfrac{1}{8}\left(4x+7z+6z\right)\)

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{9x}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{2y}{8y}}+2\sqrt{\dfrac{9z}{4z}}+\dfrac{1}{8}.76=\dfrac{33}{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(x;y;z\right)=\left(3;4;6\right)\)

đề đúng ko v

đúng đó bạn ạ

Bài 1 quan trong là đoán dấu đẳng thức.

1/  Có: \(36=\left(3+2+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(\sqrt{3}a+\sqrt{2}b+c\right)^2\)

\(\therefore\sqrt{3}a+\sqrt{2}b+c\le6\)

\(\frac{1}{3}\left(\frac{a}{bc}+\frac{3b}{2ca}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{b}{ca}+\frac{2c}{ab}\right)+2\left(\frac{c}{ab}+\frac{a}{3bc}\right)\)

\(\ge\frac{\sqrt{6}}{3c}+\frac{3\sqrt{2}}{a}+\frac{4\sqrt{3}}{3b}\)

\(=\frac{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}{c}+\frac{\left(3\sqrt{6}\right)}{\sqrt{3}a}+\frac{\left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)}{\sqrt{2}b}\)

\(\ge\frac{\left(\sqrt{\frac{\sqrt{6}}{3}}+\sqrt{3\sqrt{6}}+\sqrt{\frac{4\sqrt{6}}{3}}\right)^2}{\sqrt{3}a+\sqrt{2}b+c}\ge2\sqrt{6}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=\sqrt{3},b=\sqrt{2},c=1\)

Hiếm hoi thấy anh tth làm bất ko dùng sos

Chị tham khảo bài giải dưới đây nhé:

x^3/(3y+1) +(3y+1)/16+1/4 \(\ge\)3 . căn bậc 3\(\sqrt[]{\frac{x^3.\left(3y+1\right).1}{\left(3y+1\right).16.4}}\)\(\ge\)3x/4(BĐT cauchy) (1)

y^3/(3z+1)+(3z+1)/16+1/4 \(\ge\)3. căn bậc 3\(\sqrt[]{\frac{z^3.\left(3z+1\right).1}{\left(3z+1\right).16.4}}\)\(\ge\)3y/4 (BĐT cauchy) (2)

z^3/(3x+1) +(3x+1)/16 +1/4 \(\ge\) 3. \(\sqrt[3]{\frac{z^3.\left(3x+1\right).1}{\left(3y+1\right).16.4}}\)\(\ge\)3z/4(BĐT cauchy) (3)

cộng theo vế của các bất đảng thức (1),(2),(3) ta có BĐT tương đương 

   P+3(x+y+z)/16+3/16 \(\ge\)3(x+y+z)/4

\(\Leftrightarrow\)P+3/16\(\ge\)3(x+y+z)/4 -3(x+y+z)/16=9(x+y+z)/16\(\ge\)9/16

\(\Rightarrow\)P+3/16\(\ge\)9/16

\(\Leftrightarrow\)P\(\ge\)3/16

vậy min P=3/16 . Dấu  "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

Chị Linh Mai ơi em không học lớp 9 nhưng bài này có thể em biết làm . Và bài giải trên chỉ mang tính tham khảo thôi nha chị , chưa chắc đúng đâu . Chị cần tham khỏa các bài khác coi đúng không nhé! Em chúc chị mai thi tuyển sinh làm bài tốt nha!

bạn kia giải sai rồi

Do \(x^2+y^2=1\Rightarrow-1\le x;y\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+1\ge0\\1-y\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2\left(y+1\right)\ge0\\y^2\left(1-y\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^3\ge-y^2\\y^3\le y^2\end{matrix}\right.\)

Với mọi số thực x ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2\ge0\\\left(x-1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x\ge-x^2-1\\2x\le x^2+1\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}P=2x+y^3\ge-x^2-1-y^2=-2\\P=2x+y^3\le x^2+1+y^2=2\end{matrix}\right.\)

\(P_{min}=-2\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-1;0\right)\)

\(P_{max}=2\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)

Giả sử tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn đề bài.

Ta có tính chất sau: với các số nguyên a,b,c bất kì, thì hai tổng a+b+c và |a|+|b|+|c| luôn có cùng tính chẵn lẻ.

Do đó, \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn có cùng tính chẵn lẻ với \(x-3y+y-5z+z-7x\)

Mà \(x-3y+y-5z+z-7x=-6x-2y-4z=2.\left(-3x-y-2z\right)\) luôn chẵn với mọi số tự nhiên x,y,z

=>\(\) \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn chẵn

Theo giả thiết:

\(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|=9^{x}+11^{y}+13^{z}\)

Do vế trái chẵn theo chứng minh trên, ta suy ra \(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) cũng là số chẵn (1).

Mà 9, 11, 13 là các số tự nhiên lẻ, nên \(9^{x};11^{y};13^{z}\) cũng là các số tự nhiên lẻ

=>\(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) có kết quả là 1 số lẻ (mâu thuẫn với (1))

Vậy điều giả sử là sai, hay ko tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn yêu cầu

Đề bài:
Tồn tại hay không các số tự nhiên \(x , y , z\) sao cho

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Phân tích:

• \(x , y , z \in \mathbb{N}\) (số tự nhiên, tức là \(0 , 1 , 2 , 3 , \ldots\)).
• Vế trái là tổng các giá trị tuyệt đối, mỗi giá trị tuyệt đối có giá trị không âm và tương đối nhỏ nếu \(x , y , z\) nhỏ.
• Vế phải là tổng các số mũ với cơ số lớn (9, 11, 13) và lũy thừa theo \(x , y , z\), sẽ tăng rất nhanh khi \(x , y , z\)tăng.

Bước 1: So sánh quy mô 2 vế

• Vế trái:

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid \leq \mid x \mid + 3 \mid y \mid + \mid y \mid + 5 \mid z \mid + \mid z \mid + 7 \mid x \mid = 8 \mid x \mid + 4 \mid y \mid + 6 \mid z \mid\)

Tức là vế trái lớn nhất cũng chỉ là một số bậc nhất theo \(x , y , z\).

• Vế phải:

\(9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Là hàm số mũ tăng cực nhanh khi \(x , y , z\) tăng.

Bước 2: Kiểm tra trường hợp nhỏ

Thử với \(x = y = z = 0\):

\(\mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid = 0\)\(9^{0} + 11^{0} + 13^{0} = 1 + 1 + 1 = 3\)

Không thỏa.

Thử \(x = y = z = 1\):

\(\mid 1 - 3 \mid + \mid 1 - 5 \mid + \mid 1 - 7 \mid = 2 + 4 + 6 = 12\)\(9^{1} + 11^{1} + 13^{1} = 9 + 11 + 13 = 33\)

Không thỏa.

Thử \(x = y = z = 2\):

Vế trái:

\(\mid 2 - 6 \mid + \mid 2 - 10 \mid + \mid 2 - 14 \mid = 4 + 8 + 12 = 24\)

Vế phải:

\(9^{2} + 11^{2} + 13^{2} = 81 + 121 + 169 = 371\)

Không thỏa.

Bước 3: Nhận xét

• Vế phải tăng nhanh hơn vế trái rất nhiều.
• Vì vế trái là hàm tuyến tính (hoặc độ lớn nhất bậc 1), còn vế phải là hàm mũ, nên với \(x , y , z\) lớn, vế phải rất lớn và vế trái rất nhỏ so với vế phải.

Bước 4: Trường hợp vế phải nhỏ nhất

Để vế phải nhỏ nhất, cần \(x = y = z = 0\) (hoặc giá trị nhỏ nhất). Với các giá trị nhỏ đã thử thì không thỏa.

Kết luận:

Không tồn tại các số tự nhiên \(x , y , z\) để

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)