M N P Q O

HÌNH ẢNH CHỈ MANG TÍNH CHẤT MINH HỌA

a) +) Xét ΔMQO và ΔNPO có

MO = NO ( gt)

\(\widehat{MOQ}=\widehat{NOP}\) ( 2 góc đối đỉnh )

OP = OQ ( gt)
⇒ ΔMQO = ΔNPO ( c-g-c)

b) +) Ta có ΔMQO = ΔNPO ( cmt)

⇒ \(\widehat{OMQ}=\widehat{ONP}\) ( 2 góc tương unsgws )

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ MQ // NP

@@@ Học tốt

Chiyuki Fujito

a) Xét \(\Delta MOQ\) và \(\Delta NOP\) có:

\(OM=ON\)(O là trung điểm MN)

\(\widehat{MOQ}=\widehat{NOP}\) (đối đỉnh)

\(OP=OQ\) (O là trung điểm PQ)

\(\Rightarrow\Delta MOQ=\Delta NOP\left(c.g.c\right)\)

b) Xét \(\Delta MDO\) và \(\Delta NEO\) có:

\(MD=NE\left(gt\right)\)

\(\widehat{DMO}=\widehat{ONE}\left(\Delta MOQ=\Delta NOP\right)\)

\(OM=ON\) (O là trung điểm MN)

\(\Rightarrow\Delta MDO=\Delta NEO\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OD=OE\\\widehat{DOM}=\widehat{EON}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\widehat{DOM}=\widehat{EON}\left(cmt\right)\)

Mà \(\widehat{EON}+\widehat{MOE}=180^0\)(kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{DOM}+\widehat{MOE}=180^0\Rightarrow\widehat{DOE}=180^0\)

\(\Rightarrow D,O,E\) thẳng hàng

Mà \(OD=OE\left(cmt\right)\)

=> O là trung điểm DE

a: Xét tứ giác MPNQ có

E là trung điểm của MN

E là trung điểm của QP

Do đó: MPNQ là hình bình hành

Suy ra: MP=NQ

b: Ta có: MPNQ là hình bình hành

nên MQ=NP

c: Ta có: MPNQ là hình bình hành

nên MP//NQ

mình không vẽ hình được, sorry bạn nhé

ΔMPO và ΔQNO có

O₁=O₂ (đối đỉnh)

MO= OQ (gt)

PO= QN (gt)

⇒ ΔMOP= ΔQNO (c.g.c)

⇒ MP= QN (hai cạnh tương ứng)

ΔMQO vàΔPNO có

MO= OQ (gt)

PO= QN (gt)

O₃= O₄ (đối đỉnh)

⇒ΔMQO=ΔPNO(c.g.c)

⇒MQ=PN(2 cạnh tương ứng)

a: Đề thiếu rồi bạn

b: Xét tứ giác MQNP có

Olà trung điểm của MN

O là trung điểm của QP

Do đó: MQNP là hình bình hành

Suy ra: MQ//NP

b: Xét tứ giác MPNQ có

O là trung điểm của MN

O là trung điểm của PQ

Do đó: MPNQ là hình bình hành

Suy ra MQ//PN

Trong tam giác ABC ta có:

MP // AC và MP = AC/2.

Trong tam giác ACD ta có:

QN // AC và QN = AC/2.

Từ đó suy ra {MP // QN}

⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Do vậy hai đường chéo MN và PQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Tương tự: PR // QS và PR = QS = AB/2. Do đó tứ giác PQRS là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo RS và PQ cắt nhau tại trung điểm O của PQ và OR = OS

Vậy ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

a: Gọi O là giao điểm của MP và NQ

Ta có: MN//PQ

=>\(\hat{MAQ}=\hat{AQP}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{MQA}=\hat{AQP}\) (QA là phân giác của góc MQP)

nên \(\hat{MAQ}=\hat{MQA}\)

=>MQ=MA

mà MQ=NP

nên MA=NP

Ta có: MN//PQ

=>\(\hat{MNB}=\hat{PBN}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{MNB}=\hat{PNB}\) (NB là phân giác của góc MNP)

nên \(\hat{PBN}=\hat{PNB}\)

=>PB=PN

mà MA=NP

nên MA=PB

MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của MP và NQ

Xét tứ giác MAPB có

MA//PB

MA=PB

Do đó: MAPB là hình bình hành

=>MP cắt AB tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của MP

nên O là trung điểm của AB(1)

Ta có: ND//PQ

=>\(\hat{NQP}=\hat{DPQ}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{DPQ}=\hat{NPD}\) (PD là phân giác của góc NPQ)

nên \(\hat{NDP}=\hat{NPD}\)

=>ND=NP

mà NP=MQ

nên ND=MQ

Ta có: MN//PQ

=>\(\hat{QCM}=\hat{NMC}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{NMC}=\hat{QMC}\) (MC là phân giác của góc NMQ)

nên \(\hat{QCM}=\hat{QMC}\)

=>QC=QM

mà QM=ND

nên QC=ND

Xét tứ giác NDQC có

ND//QC

ND=QC

Do đó: NDQC là hình bình hành

=>NQ cắt DC tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của NQ

nên O là trung điểm của DC(2)

Từ (1),(2) suy ra AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường

b: Xét tứ giác ACBD có

O là trung điểm chung của AB và CD

=>ACBD là hình bình hành

=>DA=BC