a: A(-2;2); B(6;6); C(2;-2); H(x;y)

H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC và CH⊥AB

\(\overrightarrow{BC}=\left(2-6;-2-6\right)=\left(-4;-8\right)\) ; \(\overrightarrow{AH}=\left(x+2;y-2\right)\)

AH⊥BC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>-4(x+2)+(-8)(y-2)=0

=>x+2+2(y-2)=0

=>x+2+2y-4=0

=>x+2y-2=0

\(\overrightarrow{AB}=\left(6+2;6-2\right)=\left(8;4\right);\overrightarrow{CH}=\left(x-2;y+2\right)\)

CH⊥AB

=>\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)

=>8(x-2)+4(y+2)=0

=>2(x-2)+y+2=0

=>2x-4+y+2=0

=>y+2x-2=0

=>y=-2x+2

x+2y-2=0

=>x+2(-2x+2)-2=0

=>x-4x+4-2=0

=>-3x+2=0

=>-3x=-2

=>\(x=\frac23\)

=>\(y=-2x+2=-2\cdot\frac23+2=2-\frac43=\frac23\)

=>H(2/3;2/3)

Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(-2+6+2\right)=\frac13\cdot6=2\\ y_{G}=\frac13\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\left(2+6-2\right)=\frac13\cdot6=2\end{cases}\)

=>G(2;2)

I(x;y); A(-2;2); B(6;6); C(2;-2)

\(IA^2=\left(-2-x\right)^2+\left(2-y\right)^2=\left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2\)

\(IB^2=\left(6-x\right)^2+\left(6-y\right)^2=\left(x-6\right)^2+\left(y-6\right)^2\)

\(IC^2=\left(2-x\right)^2+\left(-2-y\right)^2=\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2\)

IA=IB=IC

=>\(\begin{cases}IA^2=IB^2\\ IB^2=IC^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}\left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2=\left(x-6\right)^2+\left(y-6\right)^2\\ \left(x-6\right)^2+\left(y-6\right)^2=\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2+4x+4+y^2-4y+4=x^2-12x+36+y^2-12y+36\\ x^2-12x+36+y^2-12y+36=x^2-4x+4+y^2+4y+4\end{cases}\)

=>4x-4y+8=-12x-12y+72 và -12x-12y+72=-4x+4y+8

=>16x-8y=64 và -8x-16y=-64

=>2x-y=8 và x+2y=8

=>2x-y=x+2y và 2x-y=8

=>x=3y và 2*3y-y=8

=>x=3y và 5y=8

=>y=1,6 và x=3y=4,8

=>I(4,8; 1,6)

A B → = 3 ; 12 ,   A C → = 4 ; − 1 ⇒ ( A B )   ⃗ . ( A C )   ⃗ = 3 . 4 + 12 . ( - 1 ) = 0   ⇒ ∆ A B C vuông tại A. Trực tâm của tam giác là đỉnh A. Chọn B

a: Tọa độ I là trung điểm của AB là:

\(\begin{cases}x_{I}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{B}\right)=\frac12\cdot\left(3-1\right)=\frac12\cdot2=1\\ y_{I}=\frac12\cdot\left(y_{A}+y_{B}\right)=\frac12\cdot\left(1-1\right)=0\end{cases}\)

=>I(1;0)

Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+6\right)=\frac13\cdot8=\frac83\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(1-1+0\right)=0\end{cases}\)

=>G(8/3;0)

b: A(3;1); B(-1;-1); C(6;0)

\(AB=\sqrt{\left(-1-3\right)^2+\left(-1-1\right)^2}=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt5\)

\(AC=\sqrt{\left(6-3\right)^2+\left(0-1\right)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)

\(BC=\sqrt{\left(6+1\right)^2+\left(0+1\right)^2}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=7\sqrt2\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=2\sqrt5+\sqrt{10}+7\sqrt2\)

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{20+10-50}{2\cdot2\sqrt5\cdot\sqrt{10}}=\frac{-20}{4\sqrt{50}}=\frac{-5}{\sqrt{50}}=-\frac{1}{\sqrt2}\)

c: A(3;1); B(-1;-1); C(6;0)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-1-3;-1-1\right)=\left(-4;-2\right)=\left(2;1\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(6-3;0-1\right)=\left(3;-1\right)\)

H là trực tâm của ΔABC

=>BH⊥AC và CH⊥AB

=>\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\)

B(-1;-1); H(x;y); C(6;0)

=>\(\overrightarrow{BH}=\left(x+1;y+1\right);\overrightarrow{CH}=\left(x-6;y-0\right)=\left(x-6;y\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)

=>3(x+1)+(-1)(y+1)=0

=>3x+3-y-1=0

=>3x-y+2=0

=>y=3x+2

\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\)

=>2(x-6)+1*y=0

=>2x-12+y=0

=>y=-2x+12

=>3x+2=-2x+12

=>5x=10

=>x=2

=>y=3x+2=3*2+2=8

=>H(2;8)

vecto AH=(x+2;y-4); vecto BC=(-6;-2)

vecto BH=(x-4;y-1); vecto AC=(0;-5)

Theo đề, ta có: -6(x+2)-2(y-4)=0 và 0(x-4)-5(y-1)=0

=>y=1 và -6(x+2)=2(y-4)=2*(1-4)=-6

=>x+2=1 và y=1

=>x=-1 và y=1

Tọa độ trọng tâm G x G ; y G  là x G = 1 − 2 + 5 3 = 4 3 y G = 3 + 4 + 3 3 = 10 3 .  

Chọn D.

Lời giải:

Gọi \(B(a,b)\) và \(C(c,d)\)

Ta có \(\overrightarrow {HA}=(0,4)\perp \overrightarrow{BC}=(c-a,d-b)\Rightarrow 4(d-b)=0\rightarrow b=d\)

Thay \(d=b\):

\(\overrightarrow{HB}=(a-1,b-2)\perp \overrightarrow{AC}=(c-1,b-6)\)

\(\Rightarrow (a-1)(c-1)+(b-2)(b-6)=0\)

Lại có \(IA^2=IB^2=IC^2\leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2=10\\\left(c-2\right)^2+\left(b-3\right)^2=10\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (a-2)^2=(c-2)^2\rightarrow a+c=4\) ( \(a\neq c\) )

Ta thu được

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2=10\\\left(3-a\right)\left(a-1\right)+\left(b-2\right)\left(b-6\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} a^2+b^2-4a-6b+3=0\\ -a^2+4a+b^2-8b+9=0\end{matrix}\right.\Rightarrow 2b^2-14b+12=0\rightarrow b=1\)

hoặc \(b=6\)

Thay vào PT suy ra \(\left[{}\begin{matrix}-a^2+4a+2=0\\-a^2+4a-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2+\sqrt{6}\\a=1;a=3\end{matrix}\right.\)

Vậy.....

cj em nói cj này giỏi thiệt còn em k bit j

Gọi trực tâm của ΔABC là H(x;y)

=>AH⊥BC và BH⊥AC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

A(-4;1); B(-1;4); C(3;-2); H(x;y)

\(\overrightarrow{AH}=\left(x+4;y-1\right);\overrightarrow{BC}=\left(3+1;-2-4\right)=\left(4;-6\right)\)

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>4(x+4)+(-6)(y-1)=0

=>4x+16-6y+6=0

=>4x-6y+22=0

=>2x-3y+11=0

\(\overrightarrow{BH}=\left(x+1;y-4\right);\overrightarrow{AC}=\left(3+4;-2-1\right)=\left(7;-3\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>7(x+1)+(-3)(y-4)=0

=>7x+7-3y+12=0

=>7x-3y+19=0

=>7x-3y+19-2x+3y-11=0

=>5x+8=0

=>5x=-8

=>x=-1,6

2x-3y+11=0

=>-3,2-3y+11=0

=>-3y+7,8=0

=>-3y=-7,8

=>y=2,6

Vậy: H(-1,6;2,6)