M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC

=>sđ cung MB=sđ cung MC

=>MB=MC

Xét (O) có

\(\hat{MAB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

\(\hat{MAC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

sđ cung MB=sđ cung MC

Do đó: \(\hat{MAB}=\hat{MAC}\)

=>AM là phân giác của góc BAC

Xét ΔABC có

AM là phân giác

I là tâm đường tròn nội tiếp

Do đó: A,I,M thẳng hàng

Gọi K là giao điểm của BI và (O)

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC nên BI là phân giác của góc ABC

Xét (O) có

\(\hat{KBA}\) là góc nội tiếp chắn cung KA

\(\hat{KBC}\) là góc nội tiếp chắn cung KC

\(\hat{KBA}=\hat{KBC}\)

Do đó: sđ cung KA=sđ cung KC

Xét (O) có \(\hat{BIM}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung BM và AK

=>\(\hat{BIM}\) =1/2(sđ cung BM+sđ cung AK)

=1/2(sđ cung MC+sđ cung CK)

=1/2*sđ cung MK

=\(\hat{KBM}\)

Xét ΔMIB có \(\hat{MIB}=\hat{MBI}\)

nên ΔMBI cân tại M

=>MB=MI

=>MB=MI=MC

a: Gọi E là giao điểm của BI và (O)

I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

=>AI là phân giác của góc BAC, BI là phân giác của góc ABC

Xét (O) có

\(\hat{BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(\hat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\hat{BAM}=\hat{CAM}\)

Do đó: sđ cung BM=sđ cung CM

Xét (O) có

\(\hat{ABE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE

\(\hat{CBE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

\(\hat{ABE}=\hat{CBE}\)

Do đó: sđ cung EA=sđ cung EC

Xét (O) có

\(\hat{BIM}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung BM và AE

=>\(\hat{BIM}=\frac12\) (sđ cung BM+sđ cung AE)

=1/2(sđ cung MC+sđ cung EC)

=1/2*sđ cung EM

Xét (O) có

\(\hat{EBM}\) là góc nội tiếp chắn cung EM

Do đó: \(\hat{EBM}=\frac12\cdot\) sđ cung EM

Do đó: \(\hat{MIB}=\hat{MBI}\)

=>ΔMIB cân tại M

=>MI=MB

mà MB=MC

nên MI=MC

=>ΔMCI cân tại M

a: Sửa đề: Gọi H' là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh ABH'C là tứ giác nội tiếp

Gọi D là giao điểm của BH và AC, E là giao điểm của CH và AB

H là trực tâm của ΔABC

=>BH⊥AC tại D và CH⊥AB tại E

Xét tứ giác AEHD có \(\hat{AEH}+\hat{ADH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EAD}+\hat{EHD}=180^0\)

=>\(\hat{BAC}+\hat{BHC}=180^0\)

H' đối xứng H qua BC

=>BC là đường trung trực của HH'

=>BH=BH' và CH=CH'

Xét ΔBHC và ΔBH'C có

BH=BH'

CH=CH'

BC chung

Do đó: ΔBHC=ΔBH'C

=>\(\hat{BHC}=\hat{BH^{\prime}C}\)

=>\(\hat{BAC}+\hat{BH^{\prime}C}=180^0\)

=>ABH'C là tứ giác nội tiếp

b:

Gọi \(R_1;R_2\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC, HBC

Xét ΔHBC có \(\frac{BC}{sinBHC}=2R_2\)

Xét ΔABC xcó \(\frac{BC}{\sin BAC}=2R_1\)

mà \(\sin BAC=\sin BHC\left(\hat{BAC}+\hat{BHC}=180^0\right)\)

nên \(\frac{BC}{\sin BHC}=2R_1\)

=>\(2R_1=2R_2\)

=>\(R_1=R_2\)

ahihi

a: góc ADH+góc AEH=180 độ

=>ADHE nội tiếp

b; góc xAC=góc ABC

=>góc xAC=góc ADE

=>xy//DE

Vì \(P\in\left(K\right)\Rightarrow\angle APH=90\Rightarrow\angle APH=\angle ADM=90\Rightarrow HPMD\) nội tiếp