\(y'=x^2-2\left(m-2\right)x+m^2-3m+2\)

a. Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi:

\(y'\ge0\) ; \(\forall x>3\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m-2\right)x+m^2-3m+2\ge0\) ; \(\forall x>3\)

Ta có: \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m^2-3m+2\right)=-m+2\)

TH1: \(\Delta'\le0\Leftrightarrow m\ge2\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\x_1< x_2\le2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\ge0\\x_1+x_2< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\m^2-3m+2-4\left(m-2\right)+4\ge0\\2\left(m-2\right)< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\m^2-7m+4\ge0\\m< 4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m< 2\)

Kết hợp lại ta được hàm đồng biến trên \(\left(2;+\infty\right)\) với mọi m

b.

Hàm số đồng biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi:

\(y'\ge0\) ; \(\forall x< 0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m-2\right)x+m^2-3m+2\ge0\) ; \(\forall x< 0\)

TH1: \(\Delta'=-m+2\le0\Leftrightarrow m\ge2\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\0\le x_1< x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\x_1+x_2=2\left(m-2\right)>0\\x_1x_2=m^2-3m+2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn

Kết hợp lại ta được: \(m\ge2\)

\(y'=3x^2-6mx+3\left(3m-4\right)=3\left[x^2-2mx+3m-4\right]\)

Xét \(f\left(x\right)=x^2-2mx+3m-4\)

\(\Delta'=m^2-3m+4=\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\) ;\(\forall m\)

a. Để hàm số đồng biến trên khoảng đã cho

\(\Leftrightarrow x^2-2mx+3m-4\ge0\) ; \(\forall x\le1\)

\(\Leftrightarrow1\le x_1< x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1\ge0\\x_1+x_2>2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m-4-2m+1\ge0\\2m>2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge3\\m>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge3\)

b.

Để hàm đồng biến trên khoảng đã cho

\(\Leftrightarrow x^2-2mx+3m-4\ge0\) ; \(\forall x\ge2\)

\(\Leftrightarrow x_1< x_2\le2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\ge0\\x_1+x_2< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m-4-4m+4\ge0\\2m< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le0\)

a: TH1: m=0

=>\(g\left(x\right)=4\cdot0\cdot x^2-4\left(0-1\right)x+0-3=4x-3\)

Với x=1 thì g(x)=4*1-3=1>0

=>g(x) không thể luôn âm với mọi x

=>Loại

TH2: m<>0

\(\Delta=\left\lbrack-4\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot4m\left(m-3\right)\)

\(=16\left(m^2-2m+1\right)-16m\left(m-3\right)=16m^2-32m+16-16m^2+48m\)

=16m+16

Để g(x) luôn âm với mọi x thì Δ<0 và a<0

=>16m+16<0 và 4m<0

=>m<-1 và m<0

=>m<-1

b: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(m+2\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(-2m^2+3m+4\right)\)

\(=4\left(m_{}^2+4m+4\right)+8m^2-12m-16\)

\(=4m^2+16m+16+8m^2-12m-16=12m^2+4m\) =4m(3m+1)

Để f(x)>=0 với mọi x thì Δ<=0 và a>0

=>4m(3m+1)<=0 và 1>0

=>m(3m+1)<=0

=>-1/3<=m<=0

\(f\left(x\right)=\left(m-4\right)x^2+\left(m+1\right)x+2m-1\)

\(f\left(x\right)< 0,\forall x\in R\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4< 0\\\left(m+1\right)^2-4\left(m-4\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\m^2+2m+1-4\left(2m^2-m-8m+4\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-8m^2+36m-16< 0\)

\(\Leftrightarrow-7m^2+38m-15< 0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3}{7}\\m>5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(KL:m\in\left(5;+\infty\right)\)

- Với \(m=0\Rightarrow f\left(x\right)=-4x-5>0\) khi \(x< -\dfrac{5}{4}\) (ktm)

- Với \(m\ne0\Rightarrow f\left(x\right)< 0;\forall x\) khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=4\left(m+1\right)^2-m\left(m-5\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\3m^2+13m+4< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\-4< m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-4< m< -\dfrac{1}{3}\)

\(\Delta=\left(-2m+4\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\left(m+3\right)\)

=4m^2-16m+16+4(m+3)

=4m^2-16m+16+4m+12

=4m^2-12m+28

Để f(x)<0 với mọi x thì 4m^2-12m+28<0 và -1<0

=>\(m\in\varnothing\)

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

a)HS đồng biến

`=>2m-1>0`

`=>2m>1=>m>1/2`

b)Gọi điểm cố đính mà hàm số luôn đi qua với mọi m là `A(x_o,y_o)`

`=>y_o=(2m-1).x_o +m-7`

`<=>y_o=2mx_o-x_o +m-7`

`<=>m(2x_o +1)-x_o-y_o-7=0`

`<=>{(2x_o +1=0),(-x_o-y_o-7=0):}`

`<=>x_o=-1/2,y_o=-13/2`

`=>A(-1/2,-13/2)`

Vậy điểm cố đính mà hàm số luôn đi qua với mọi m là `A(-1/2,-13/2)`

a: Để hàm số đồng biến thì 2m-1>0

hay \(m>\dfrac{1}{2}\)