a: Xét tứ giác KAOB có

góc KAO+góc KBO=180 độ

nên KAOB là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

KA,KB là các tiếp tuyến

nên KA=KB

mà OA=OB

nên OK là trung trực của BA

=>OK vuông góc với AB(1)

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔBCA vuông tại B

=>BC vuông góc với BA(2)

Từ (1), (2) suy ra BC//KO

Bạn ơi còn câu c

1: Xét tứ giác KAOB có \(\widehat{KAO}+\widehat{KBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên KAOB là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

\(\widehat{KAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AK và dây cung AC

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{KAC}=\widehat{ADC}\)

Xét ΔKAC và ΔKDA có

\(\widehat{KAC}=\widehat{KDA}\)

\(\widehat{AKC}\) chung

Do đó: ΔKAC đồng dạng với ΔKDA

=>\(\dfrac{KA}{KD}=\dfrac{KC}{KA}\)

=>\(KA^2=KC\cdot KD\)

Xét (O) có

KA,KB là các tiếp tuyến

Do đó: KA=KB

=>K nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OK là đường trung trực của AB

=>OK\(\perp\)AB tại M và M là trung điểm của AB

Xét ΔOAK vuông tại A có AM là đường cao

nên \(KM\cdot KO=KA^2\)

=>\(KA^2=KM\cdot KO=KC\cdot KD\)

a: Sửa đề: K,A,O,B

Xét tứ giác KAOB có \(\hat{KAO}+\hat{KBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên KAOB là tứ giác nội tiếp

=>K,A,O,B cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

KA,KB là các tiếp tuyến

Do đó: KA=KB

=>K nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OK là đường trung trực của AB

=>OK⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại B

=>BA⊥BC

mà OK⊥AB

nên OK//BC

c: xét ΔAOK vuông tại A và ΔBCA vuông tại B có

\(\hat{AOK}=\hat{BCA}\) (hai góc đồng vị, OK//CB)

Do đó: ΔAOK~ΔBCA

=>\(\frac{AO}{BC}=\frac{OK}{AC}\)

=>\(KO\cdot BC=AO\cdot AC=2R^2\)

Xét ΔAOK vuông tại A có \(cosAOK=\frac{OA}{OK}=\frac12\)

nên \(\hat{AOK}=60^0\)

=>\(\hat{ACB}=60^0\)

Xét ΔABC vuông tại B có \(cosACB=\frac{BC}{CA}\)

=>\(\frac{BC}{2R}=\frac12\)

=>BC=R

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin ACB=\frac12\cdot2R\cdot R\cdot\sin60\)

\(=\frac{R^2\sqrt3}{2}\)

a: ΔACD cân tại A
mà AI là trung tuyến

nên AI vuông góc CD

góc AIO=góc AMO=90 độ

=>AMIO nội tiếp

Tâm K là trung điểm của OA

a: Xét (O) có

AH,AK là các tiếp tuyến

Do đó: AH=AK

=>A nằm trên đường trung trực của HK(1)

Ta có: OH=OK

=>O nằm trên đường trung trực của HK(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của HK

=>AO\(\perp\)HK

b: Xét (O) có

ΔDHK nội tiếp

DK là đường kính

Do đó: ΔDHK vuông tại H

=>DH\(\perp\)HK

mà HK\(\perp\)OA

nên OA//HD

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC
mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc BC

=>AH*AO=AB^2

Xét ΔABM và ΔANB có

góc ABM=góc ANB

góc BAM chung

=>ΔABM đồng dạng với ΔANB

=>AB/AN=AM/AB

=>AM*AN=AB^2=AH*AO

Mình đoán M là một điểm nằm ngoài đường tròn và câu a là chứng minh MBOC nội tiếp. Lần sau viết đề kỹ hơn bạn nha.

a) Do MB, MC là hai tiếp tuyến của (O) nên ^MBO+^MCO=90+90=180^o

b) M là giao điểm 2 tiếp tuyến MB, MC với (O) tức $MB=MC;OB=OC(=R)$ vậy $OM$ là đường trung trực BC. Mà $K$ thuộc $OM$ nên \(KB=KC\Rightarrow \angle KBC=\angle KCB=\text{sđc} BC=\angle MBK.\)

Vậy BK là tia phân giác $\angle MBC.$

c) Theo câu b ta có BK là tia phân giác $\angle MBC.$ Theo tính chất đường phân giác \(\dfrac{KI}{KM}=\dfrac{BI}{BM}\)

d) Hạ KX vuông góc với BM. Do câu b nên ta có ^IBK=^XBK; BK chung vậy $\Delta IBK=\Delta IXB \Rightarrow KI=KX.$ (1)

Hạ KY vuông góc với CM. Tương tự câu b ta chứng minh được CK là phân giác ICY.

Tương tự cách chứng minh ở (1) ta cũng có KI=KY. (2)

Từ (1) và (2) KI=KX=KY tức K cách đều ba cạnh của tam giác. Vậy K là tâm nội tiếp $\Delta MBC.$ 

D nằm ở đâu? M nằm ở đâu?

a: Xét tứ giác OPMN có \(\hat{OPM}+\hat{ONM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OPMN là tứ giác nội tiếp

Ta có: OH > R > OK

⇒ ∠(OKH) > ∠(OHK)

(Góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn)