a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

Tâm I là trung điểm của BC

b: BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)

mà \(\hat{BFE}+\hat{KFB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{KFB}=\hat{KCE}\)

Xét ΔKFB và ΔKCE có

\(\hat{KFB}=\hat{KCE}\)

góc FKB chung

Do đó: ΔKFB~ΔKCE

=>\(\frac{KF}{KC}=\frac{KB}{KE}\)

=>\(KF\cdot KE=KB\cdot KC\)

a: góc BHD+góc BMD=180 độ

=>BHDM nội tiếp

b: BHDM nội tiếp

=>góc HDM+góc HBM=180 độ

=>góc ADM=góc ABC

=>góc ADM=góc ADC

=>DA là phân giáccủa góc MDC

c: Xét tứ giác DHNC có

góc DHC=góc DNC=90 độ

=>DHNC nội tiếp

=>góc NHD=góc NDC

góc NHD+góc MHD

=180 độ-góc NCD+góc MBD

=180  độ+180 độ-góc ABD-góc ACD

=180 độ

=>M,H,N thẳng hàng

a: góc BEH+góc BFH=90 độ

=>BEHF nội tiếp

b: góc ABK=1/2*sđ cung AK=90 độ

Xét ΔABK vuông tại B và ΔAFC vuông tại F có

góc AKB=góc ACF

=>ΔABK đồng dạng với ΔAFC

Đặt \(\hept{\begin{cases}S_{OAB}=x\\S_{OBC}=y\\S_{OCA}=z\end{cases}}\)

Có: \(\frac{OA}{OD}=\frac{S_{AOB}}{S_{ODB}}=\frac{S_{AOC}}{S_{ODC}}=\frac{x+z}{y}\)

\(\Rightarrow\frac{R}{OD}=\frac{x+z}{y}\)

\(\Rightarrow OD=R.\frac{y}{x+z}\)

Tương tự, có: \(OD+OE+OF=R\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)

\(\ge\frac{3}{2}R.\)(BĐT Nesbitt)

sorry, i cant do it

ΔBEC vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên EM=MB=MC

Xét ΔEMC có \(\hat{EMB}\) là góc ngoài tại đỉnh M

nên \(\hat{EMB}=\hat{MEC}+\hat{MCE}=2\cdot\hat{MCE}=2\cdot\hat{ACB}\)

Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)

mà \(\hat{BFE}+\hat{AFE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AFE}=\hat{ACB}\)

Xét tứ giác AFDC có \(\hat{AFC}=\hat{ADC}=90^0\)

nên AFDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AFD}+\hat{ACD}=180^0\)

mà \(\hat{AFD}+\hat{BFD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BFD}=\hat{BCA}\)

Ta có: \(\hat{BFD}+\hat{AFE}+\hat{EFD}=180^0\)

=>\(\hat{BCA}+\hat{BCA}+\hat{DFE}=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{BCA}+\hat{DFE}=180^0\)

=>\(\hat{DFE}+\hat{DME}=180^0\)

=>FEMD là tứ giác nội tiếp