a: Sửa đề: A,B,M,O

Xét tứ giác BMOA có

\(\widehat{BMO}+\widehat{BAO}=90^0+90^0=180^0\)

=>BMOA là tứ giác nội tiếp

=>B,M,O,A cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

BA,BM là tiếp tuyến

Do đó: BA=BM và OB là phân giác của \(\widehat{AOM}\)

=>\(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{AOB}\)

Xét (O) có

CA,CN là tiếp tuyến

Do đó: CA=CN và OC là phân giác của \(\widehat{AON}\)

=>\(\widehat{AON}=2\cdot\widehat{AOC}\)

\(\widehat{AON}+\widehat{AOM}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{AOC}+2\cdot\widehat{AOB}=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{BOC}=180^0\)

=>\(\widehat{BOC}=90^0\)

Xét ΔOBC vuông tại O có OA là đường cao

nên \(OA^2=AB\cdot AC\)

mà AB=BM và AC=CN

nên \(OA^2=BM\cdot CN\)

c: BA=BM

=>B nằm trên đường trung trực của AM(1)

OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1) và (2) suy ra BO là đường trung trực của AM

=>BO\(\perp\)AM tại trung điểm của AM

=>BO\(\perp\)AM tại H và H là trung điểm của AM

CA=CN

=>C nằm trên đường trung trực của AN(3)

OA=ON

=>O nằm trên đường trung trực của AN(4)

Từ (3) và (4) suy ra CO là đường trung trực của AN

=>CO\(\perp\)AN tại trung điểm của AN

=>CO\(\perp\)AN tại K và K là trung điểm của AN

Xét tứ giác AHOK có \(\widehat{AHO}=\widehat{AKO}=\widehat{HOK}=90^0\)

nên AHOK là hình chữ nhật

a: Qua A, kẻ tiếp tuyến chung AI của hai đường tròn, với I∈DE

Xét (O) có

IA,ID là các tiếp tuyến

Do đó: IA=ID và IO là phân giác của góc AID

Xét (O) có

IA,IE là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IE và IO' là phân giác của góc AIE

IA=ID

IA=IE

Do đó: ID=IE

=>I là trung điểm của DE

Xét ΔADE có

AI là đường trung tuyến

AI=DE/2

Do đó: ΔADE vuông tại A

=>\(\hat{DAE}=90^0\)

b: Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>AD⊥KB tại D

Xét (O') có

ΔAEC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAEC vuông tại E

=>AE⊥KC tại E

Xét tứ giác KDAE có \(\hat{KDA}=\hat{KEA}=\hat{DAE}=90^0\)

nên KDAE là hình chữ nhật

c: KDAE là hình chữ nhật

=>KA cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của DE

nên I là trung điểm của AK

mà AI là tiếp tuyến chung của (O) và (O')

nên AK là tiếp tuyến chung của (O) và (O')

Xét (O) có 

\(\widehat{EAB}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BE}\)

\(\widehat{BCE}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BE}\)

Do đó: \(\widehat{EAB}=\widehat{BCE}\)(Hệ quả góc nội tiếp)

hay \(\widehat{DAB}=\widehat{DCE}\)

Xét ΔDAB vuông tại D và ΔDCE vuông tại D có 

\(\widehat{DAB}=\widehat{DCE}\)(cmt)

Do đó: ΔDAB\(\sim\)ΔDCE(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{DB}{DE}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow DA\cdot DE=DB\cdot DC\)(đpcm)