\(D=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+.......+\dfrac{1}{10^2}\)

\(D< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+.......+\dfrac{1}{9.10}\)

\(D< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+.....+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\)

\(D< 1-\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow D< 1\left(đpcm\right)\)

\(A=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+........+\frac{1}{5^{2014}}\)

\(\Rightarrow5A=1+\frac{1}{5}+...........+\frac{1}{5^{2013}}\)

\(\Rightarrow5A-A=1+...........+\frac{1}{5^{2013}}-\frac{1}{5}+...........+\frac{1}{5^{2014}}\)

\(\Rightarrow4A=1-\frac{1}{5^{2014}}\)

\(\Rightarrow4A< 1\Rightarrow A< \frac{1}{4}\)

=> 5A = 1 + 1/5 +...+1/5^2013

=>4A= 1- 1/5^2014

=> 4A< 1 => A < 1/4

\(n^2>\left(n-1\right)\left(n+1\right)\Rightarrow\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right).\) 

 Do đó:   \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2013^2}+\frac{1}{2014^2}< \frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{2012.2014}+\frac{1}{2013.2015}=\) 

\(=\frac{1}{2}[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2014}+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2015}]=\) 

\(=\frac{1}{2}[1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}]=\frac{1}{2}[\frac{3}{2}-\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}]=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}\right)< \frac{3}{4}.\)

mình nói thêm về câu hỏi , câu số 2 thiếu chỗ cuối là ' Chứng tỏ A < 1

#)Giải :

\(B=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{19}\)

\(B=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{19}\right)\)

Vì \(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{9}>\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}>\frac{1}{2}\)

Và \(\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{19}>\frac{1}{19}+\frac{1}{19}+...+\frac{1}{19}=\frac{10}{19}>\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow B>\frac{1}{4}+\frac{5}{9}+\frac{10}{19}>\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}>1\)

\(\Rightarrow B>1\)

1.

Vì \(2^n-1\) là số nguyên tố và \(n>2\).

Ta chứng minh \(n\) là số nguyên tố.

Thật vậy, giả sử \(n\) là hợp số, khi đó \(n=a\cdot b\) với \(a,b>1\).

Ta có:

\(2^n-1=2^{ab}-1=(2^a)^b-1\)

\(=(2^a-1)[(2^a)^{b-1}+\cdots+2^a+1]\).

Suy ra \(2^n-1\) là hợp số, trái với giả thiết.

Vậy \(n\) là số nguyên tố.

Do \(n>2\) nên \(n\) là số nguyên tố lẻ.

Suy ra \(n\) có dạng \(n=2k+1\), với \(k\geq1\).

Ta có:

\(2^n+1=2^{2k+1}+1\).

Vì \(2\equiv -1\pmod3\) nên \(2^n+1\) chia hết cho 3 (do \(n\) lẻ).

Mà \(2^n+1>3\) nên \(2^n+1\) là hợp số.

Vậy \(2^n+1\) là hợp số.

2.

Vì \(p+2014k\) và \(p+2015k\) đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ.

Ta có:

\((p+2015k)-(p+2014k)=k\).

Suy ra \(k\) là số chẵn, hay \(k\) chia hết cho 2.

Mặt khác, vì \(p\) chia cho 3 dư 1 nên \(p\equiv1\pmod3\).

Ta có:

- \(2014\) chia cho 3 dư 1.

- \(2015\) chia cho 3 dư 2.

Giả sử \(k\) không chia hết cho 3.

Khi đó, \(k\) chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2.

- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 1 thì \(p+2015k\) chia hết cho 3.

- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 2 thì \(p+2014k\) chia hết cho 3.

Điều này vô lý vì cả hai số đều là số nguyên tố lớn hơn 3.

Vậy \(k\) chia hết cho 3.

Mà \(k\) chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên \(k\) chia hết cho 6.

Vậy \(k\) chia hết cho 6. \(\square\)

Minh lam cau A) thoi duoc hong